Карпова Ірина Вікторівна, старший викладач кафедри алгебри ХДПУ
1. Алгебраїчним виразом називається вираз, що складається з кінцевого числа букв і чисел, з'єднаних знаками дій додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до цілу ступінь і добування кореня.
Всі алгебраїчні вирази (А.В) по діям, які виробляються над літерами можна класифікувати таким чином:
Букви, входять до А.В можуть приймати значення з деякого числового безлічі, яке називається безліччю допустимих значень або областю визначення А.В.
Так, в розглянутих вище прикладах 1) і 2) значеннями букв, що входять у А.В можуть бути будь-які числа. У загальному випадку область визначення (О.О.) цілих алгебраїчних виразів може бути будь-яким числовим безліччю.
Так як ділити на вираз рівне нулю не можна, то з і b в пр.3) можуть приймати будь-які числові значення, крім с = 0 і b = 0, таким чином О.О. А.В з пр.3) з В№ 0, b В№ 0. На цій же підставі О.О. А.В з Пр.4) x + y В№ 0 або х В№ y.
В загальному випадку О.О. дробно-раціонального А.В не включає ті значення, що входять до вираз букв, при яких знаменник дробів у вираженні звертається в нуль.
Область визначення А.В з пр.5) а В№ b, b В№ 0 і а> 0 тому вираз стоїть під знаком кореня четной ступеня повинно бути, за визначенням арифметичного кореня, ненегативним.
О.О. А.В з пр.6) х +1 Ві 0 або х Ві -1.
В загальному випадку О.О. ірраціонального виразу включає тільки ті значення букв, при яких вирази, які стоять під знаком кореня парному ступеня приймають невід'ємні значення.
тотожності називається рівність двох А.В справедливе для будь-яких допустимих значень, вхідних у нього букв.
Рівність (A + b) 2 = a2 +2 ab + b2 справедливе для будь-яких a і b є тотожність.
Рівність є тотожністю тільки для а В№ 1.
Тотожним перетворенням А.В називається заміна одного А.В іншим тотожне йому рівним, але відмінним за формою.
a3 +3 a2b = a2 (a +3 b)
при з В№ 0.
Метою тотожних перетворень (Т.П) може бути приведення висловом виду, більш зручного для чисельних розрахунків або подальших перетворень.
До Т.П відносяться:
приведення подібних членів
розкриття дужок
розкладання на множники
приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника
позбавлення від ірраціональності в знаменнику і т.п.
2. Розглянемо тотожні перетворення А.В.
Для успішного здійснення Т.П. цілих А.В потрібно пам'ятати:
Формули скороченого множення
(a В± b) 2 = a2 + 2ab + b2
a3 В± b3 = (a В± b) (a2ab + b2)
(a В± b) 3 = a3 В± 3a2b + 3ab2 В± b3
a2 - B2 = (a + b) (a - b)
Властивості ступеня з цілими показниками
Формули коренів квадратного тричлена ax2 + bx + c
Теорему Вієта х1 і х2 - корені ax2 + bx + c в тому і тільки тому випадку, якщо
Розкладання квадратного тричлена ax2 + bx + c на множники.
Якщо х1, х2 - корені тричлена, то ax2 + bx + c = а (х-х1) (х-х2)
Розглянемо кілька прикладів тотожних перетворень цілих А.В.
Приклад 1. Розкласти многочлен на множники
Рішення:
Задача полягає в тому, щоб згрупувати доданки так, щоб вони мали загальний множник, який можна буде потім винести за дужки, Перейдемо від суми до творові.
Отже.
Об'єднаємо крайні доданки в одну групу, а середні в іншу:
2) Винесемо за дужки у другій групі загальний множник 2ab, отримаємо:
3) Винесемо за дужки спільний множник першого і другого доданка (a2 + b2):
Отримане вираз є добуток двох співмножників, а значить многочлен f (a, b) розклали на множники.
Відповідь:
Приклад 2. Розкласти на множники f (a) = a3 - 7а2 + 7а +15
Рішення:
Як б ми не групували доданки ми не отримаємо групи доданків, що мають однакові множники. Тому, спочатку перетворимо самі доданки.
-7а2 =-3а2 - 4а2
7а = 12а - 5а
f (A) = a3 - 7а2 + 7а +15 = a3 - 3а2 - 4а2 + 12а - 5а +15
3) Згрупуємо доданки попарно, і з кожної дужки винесемо загальний множник.
f (a) = (A3 - 3а2) + (- 4а2 +12 а) + (- 5а +15) = а2 (а - 3) - 4а (а - 3) - 5 (а - 3)
4) В отриманому виразі всі доданки мають спільний множник (а - 3), який і виносимо за дужки. f (a) = (а - 3) (а2 - 4а - 5)
5) Ми отримали розкладання на множники f (a), але другий множник в свою чергу може бути розкладений на множники. Для цього, використовуючи теорему Вієта, розкладемо тричлен (а2 - 4а - 5) на множники.
За теоремі Вієта корінням тричлена (а2 - 4а - 5) є а1 = 5 і а2 = -1. Тоді маємо (а2 - 4а - 5) = (а - 5) (а + 1) і f (a) = (а - 3) (а - 5) (а + 1)
Відповідь: a3 - 7а2 + 7а +15 = (а - 3) (а - 5) (а + 1).
Приклад 3. Розкласти на множники f (a, b, c) = ab (a + b) - bc (b + c) + ac (a - c).
Рішення:
1) Зауважимо, що вираз, що стоїть в перших дужках є сума виразів, що стоять у другій і в третій дужках a + b = (b + c) + (a-c). Підставимо це замість а + b.
f (a, b, c) = ab ((b + c) + (a-c))-bc (b + c) + ac (a-c) = ab (b + c) + Ab (a-c)-bc (b + c) + ac (a-c)
2) Згрупуємо 1-е і 3-є доданки і 2-е і 4-е і винесемо загальні множники за дужки.
f (a, b, c) = (b + c) (ab-bc) + (a-c) (ab-ac) = (b + c) (a-c) b + (a-c) (b + c) a = (a-c) (b + c) (b + a)
Отримане Тобто твір трьох співмножників.
Відповідь: ab (a + b) - bc (b + c) + ac (a - c) = (a-c) (b + c) (b + a).
Приклад 4. Розкласти на множники f (a, b) = 4a2-12ab +5 b2.
Рішення:
1) Виділимо повний квадрат
f (a, b) = (2a) 2-2 (2a) (3b) + (3b) 2 -4b2 = (2a-3b) 2-4b2.
2) Скористаємося формулою різниці квадратів:
f (a, b) = ((2a-3b)-2b) ((2a-3b) +2 b) = (2a-5b) (2a-b).
Відповідь: 4a2-12ab +5 b2 = (2a-5b) (2a-b).
Приклад 5. Розкласти на множники f (a) = а3 +9 а2 +27 а +19.
Рішення:
Так як вираз залежить тільки від а, яке входить у вираз в 3-ій, 2-ий і 1-го ступеня, спробуємо виділити повний куб, скористайтесь формулою (A + b) 3 = a3 +3 a2b +3 ab2 + b3.
1) f (a) = a3 +3 a2 Г— 3 +3 a Г— 32 +33 -8
2) тому 8 = 23, то скористаємося формулою різниці кубів: a3-b3 = (a-b) (a2 + ab + b2).
f (a) = (a +3) 3-23 = (a +3-2) ((a +3) 2 +2 (a +3) +22) = (a +1) (a2 + 8a +19).
Відповідь: а3 +9 а2 +27 а +19 = (a +1) (a2 +8 a +19).
3. Розглянемо приклади тотожних перетворень дрібно-раціональних виразів.
При виконанні Т.П. таких виразів треба стежити за областю визначення виразу, тому може відбуватися розширення області визначення. Це може статися, наприклад, при скороченні дробу.
Так область визначення дробу всі х В№ 1 і х В№ -2.
Разом з тим.
Скоротивши дріб, отримаємо. Область визначення отриманої дробу: х В№ -2, т.е ширше, ніж О.О. первісної дробу.
Тому дробу і дорівнюють при х В№ 1 та х В№ -2.
Зміна області визначення виразу можливо і в результаті деяких інших перетворень, тому, виконавши перетворення виразу, потрібно завжди вміти відповісти на питання, на якій безлічі воно тотожне отриманому.
Приклад 1. Скоротити дріб
Рішення:
1) Знайдемо О.О. Для цього потрібно зажадати, щоб знаменник дробу різнився від 0. a + b В№ 0 Гћ a В№ b. Таким чином О.О. f (a) всі a В№ b.
2) Щоб скоротити дріб, розкладемо чисельник на множники
2А2 + ab-b2 = 2a2 +2 ab-ab-b2 = (2a2 +2 ab) + (-ab-b2) = 2a (a + b)-b (a + b) = (a + b) ( 2a-b)
3)
Відповідь: .
Приклад 2. Спростити вираз
Рішення:
Знайдемо область визначення: а2 +3 а +2 В№ 0, а2 +4 а +3 В№ 0, а2 +5 а +6...
