Маслова В. А., м. Воронеж
(Відкритий урок по геометрії в 11 класі)
"Проблеми нам створюють не ті речі, які ми не знаємо, а ті, про які ми помилково вважаємо, що знаємо"
В. Роджерс
ЦІЛЬ УРОКУ: Систематизація та поглиблення знань по темі "Конус". Підвищити інтерес до геометрії, вирішуючи нестандартні завдання і відповідаючи на цікаві питання. Створення позитивної внутрішньої мотивації навчання учнів.
Хід уроку.
I. Питання до класу з коментарями вчителя:
Сьогодні на уроці ми узагальнимо і систематизуємо свої знання на тему "Конус", повторимо основні формули і застосуємо їх при вирішенні практичних задач.
Ви повинні були повторити основні поняття по темі і встановити зв'язок між картиною Шишкіна "Корабельна гай" та геометричним тілом, яке називається "конус". Хто з Вас знайшов цю "зв'язок"? (Учитель демонструє репродукцію картини).
Відповідь: Конус у перекладі з грецької мови означає "соснова шишка ", а на картині зображений сосновий ліс.
Фронтальна робота з класом по основним поняттям теми. Два учні вирішують завдання на дошці за картками.
Питання до класу:
Дайте визначення конуса;
Яка поверхню називається конічною;
Назвіть елементи конуса і покажіть їх на кресленні;
Який конус називається прямим?
Запишіть формули обсягу конуса, площі бічної і повної поверхні конуса.
Перевірка задач, вирішених учнями на дошці:
Задача 1. Радіус основи конуса R. Осьовим перерізом є прямокутний трикутник. Знайти його площу.
Завдання 2. Осьовим перерізом конуса є рівнобедрений прямокутний трикутник, площа якого 9 м2. Знайти об'єм конуса.
Самостійна робота на 2 варіанти з наступною перевіркою (Два учні вирішують на закритих дошках).
Варіант I. Знайдіть висоту конуса, якщо його обсяг дорівнює 48p см3, а радіус підстави 4 см.
Варіант II. Знайдіть радіус основи конуса, якщо його обсяг дорівнює 2,25 p см3, а висота 3 см.
Вирішити задачу: Твірна конуса дорівнює 18 см і нахилена до площини основи під кутом 60 В°. Знайдіть площу осьового перерізу, площа повної поверхні конуса і його обсяг.
II. Застосуйте отримані знання на практиці.
Коментарі вчителя: Отже, Ви вже знаєте як знайти елементи конуса, його поверхня і об'єм, але чи зможете Ви застосувати їх виходячи на "вільний повітря ". Адже купа щебеню по краях шосейної дороги також представляє предмет заслуговуючий уваги. Подивившись на малюнок 1, ми можемо задати собі питання:
Яку площу займає щебінь?
Яка поверхню цієї купи щебеню?
Який її обсяг?
Завдання досить складні для людини, звиклої долати математичні труднощі тільки на папері або на класній дошці. Адже необхідно обчислити об'єм і поверхню конуса, висота і радіус якого не доступні для безпосереднього вимірювання. Питання до класу:
Як знайти радіус?
(виміряти окружність підстави і розділити на 6,28 = 2p);
Як знайти утворюючу?
(визначити дві утворюючі: перекинувши метрову стрічку через
вершину купи);
Як знайти висоту?
(визначити по теоремі Піфагора).
Задача: Нехай окружність конічної купи щебеню 12 м. Довжина двох утворюючих - 4,6 м. Знайти площу поверхні купи щебеню та її обсяг.
Рішення.
l = 4,6/2 = 2,3 м
r = 12,1/6,28 В»1,9 м
S = p * r * l = 3,14 * 1,9 * 2,3 = 13,7 м2
V = 1/3 * p * r2 * H = 1/3 * 3,14 * 1,92 * = 1/3 * 3,14 * 3,61 * = 1/3 * 3,14 * 3,61 * = 1/3 * 3,14 * 3,61 * 1,3 В»4,9 м3
Коментарі вчителя: При погляді на конічну купу щебеню або піску мені пригадується стародавня легенда східних народів, розказана у А.С. Пушкіна в "Скупий лицар". Послухайте її:
"Читав я десь,
Що цар одного разу воїнам своїм
Звелів знести землі по жмені в купу, -
І гордий пагорб піднісся,
І цар міг з висоти з веселощами оглядати
І дол, покритий білими шатрами,
І море, де бігли кораблі ".
Які асоціації викликають у Вас ці вірші?
Холм - конус.
Якого обсягу може бути цей пагорб?
Якої висоти міг бути цей пагорб?
На скільки кілометрів може збільшитися панорама для спостереження, піднявся з підніжжя пагорба до його вершині?
Давайте спробуємо відповісти на ці питання і проаналізувати цей текст (три учні заздалегідь підготували відповідь).
Перший учень розповідає. Це одна з тих небагатьох легенд, в яких при начебто правдоподібності немає і зерна правди. Справа в тому, що якщо який-небудь древній деспот надумав би здійснити таку затію, то він був би збентежений мізерністю результату: перед ним височіла б настільки жалюгідна купка землі, що ніяка фантазія не в силах була б роздути в легендарний, "гордий пагорб". Зробимо приблизний розрахунок: Старовинні армії були не такі численні, як у наш час. У Аттіли було саме численне військо, яке знав древній світ. Історики оцінюють його в 700 тисяч чоловік.
Зупинимося на цьому числі, тобто приймемо, що пагорб склався з 700000 жмень. Захопіть найбільшу жменю землі і насипте в склянку: Ви не наповните його однієї пригорщею. Все ж приймемо, що жменю древнього воїна дорівнювала одній склянці, приблизно 1/5 літра або 1/5 куб. дм.
Визначимо обсяг холу: (1/5) * 700 000 = 140000 куб. дм. = 140 куб. м. Виходить пагорб представляв собою конус об'ємом не більше 140 куб. м. Такий скромний обсяг уже розчаровує.
Учитель: Але продовжимо розрахунки. Знайдемо висоту цього пагорба.
Другий учень розповідає: Щоб визначити висоту пагорба, потрібно знати який кут становить утворює конуса з його підставою. У нашому випадку можна прийняти його рівним куту природного укосу, тобто 45 В° (рис. 2). Більше великих схилів не можна допустити, тому що земля буде обсипатися. Зупинившись на вугіллі в 45 В°, розглянемо трикутник АВС.
Висота такого конуса дорівнює радіусу його заснування. h = R; V = 140 м3;
V = (1/3) * S * h = (1/3) * p * R2 * h =
(1/3) * p * h3; 140 = (1/3) * p * h3;
p * h3 = 420; h3 В»133,76; hВ» 5,1 м.
У результаті обчислень отримали, що при обсязі пагорба 140 м3, висота його становить 5,1 м. Сумнівно, щоб курган докладних розмірів міг задовольняти честолюбство Аттіли. З таких невеликих узвиш легко було б бачити дол, покритий білими шатрами, але оглядати море, було б можливо тільки якщо справа відбувалася неподалік від берега.
Учитель: Отже, відповіли на одне питання, але залишається ще питання, що виникло у нас: як далеко можна бачити з тієї чи іншої висоти?
Подивіться на малюнок 3.
Третій учень розповідає. Відповімо на запитання, як великий радіус кола, в центрі якого бачимо себе на рівній місцевості або на висоті. Завдання зводиться до обчислення довжини відрізка СN дотичній, проведеної з точки на рівні ока спостерігача до земної поверхні.
Нехай h - зростання спостерігача (зовнішній відрізок січної); R - радіус Землі рівний 6400 км. (H + 2R) - довжина січної CD, тоді СN2 = h * (h + 2R). Так як зріст людини малий у порівнянні з R, то h + 2R В»2R, отже СN2 = h * 2R. Зростання людини до очей приблизно h = 1,6 м або 0,0016 км, тоді СN === 80 * = 4,52 км.
Повітряні хмари Землі викривляють шлях променів і обрій відсуває на 6%, тоді дальність видимості буде відповідати 4,52 * 1,06 В» 4,8 км, тобто на рівному місці людина бачить не далі 4,8 км. Це набагато менше , Ніж зазвичай думають люди, які описують дальній простір степів, обкидають поглядом.
Cходную помилку робить О.С. Пушкін, говорячи в "Скупий лицар" про далекому обрії.
Ми знайшли, що висота пагорба приблизно 5 метрів. Якщо спостерігач встав на вершину конічного пагорба, то очей його піднісся б
над грунтом на 6.6 км. У цьому випадку дальність горизонту була б рівна В»9 км. Це всього на 4 км більше того, чим можна бачити, стоячи на рівній землі.
Підіб'ємо підсумок уроку: Отже, Ви повторили, як знаходити елементи конуса, об'єм і поверхня його, застосували свої знання в "геометрії на повітрі" і показали необхідність критично ставиться до текстів художніх творів. Сьогодні на уроці ми використовували тонкість і строгість математики при вирішенні нестандартних задач. Сподіваюся, що надалі теоретичні знання, отримані на уроках геометрії, Ви зможете успішно використовувати в різних життєвих ситуаціях.
