Т.С. Кармакова, доцент кафедри алгебри ХДПУ
В пропонованій статті йдеться про нестандартні прийомах розв'язання рівнянь, заснованих на простих і добре відомих учням властивості та характеристики функцій, таких як безперервність, монотонність найбільше і найменше значення. Використовуючи пропоновані автором завдання і методи їх вирішення, учитель зможе сформувати в учнів більш широкий погляд на область застосування різних цих властивостей. Адже не секрет, що в стандартному курсі шкільної математики властивості функцій застосовуються в основному для побудови їх графіків.
В відповідності з обов'язковим мінімумом змісту середньої (повної) загальної освіти, затвердженими Міністерством освіти РФ (пр. № 56 від 30.06.99), всі учні повинні знати три основні методи розв'язання рівнянь:
Розкладання на множники,
Заміна змінних,
Використання властивостей функцій.
Розглянемо на конкретних прикладах сутність третього методу. Цей метод застосовується тоді, коли рівняння F (x) = G (x) в результаті перетворень або заміни змінних не може бути приведене до того чи іншого стандартного рівнянню, що має певний алгоритм рішення. Продемонструємо використання деяких властивостей функцій до вирішення рівнянь зазначеного вище виду у випадку, коли F (x) і G (x) - будь-які елементарні функції.
Використання області визначення і області значення функцій
Вирішити рівняння
Рішення: Безліч рішень цього рівняння збігається з областю визначення функції. Областю визначення цієї функції (відповідно до визначенням ступеня з раціональним показником) є безліч позитивних дійсних чисел.
Відповідь: x> 0.
Вирішити рівняння sinxctgx = cosx.
Рішення: Безліч рішень цього рівняння збігається з областю визначення рівняння. Область визначення рівняння - це загальна частина областей визначення функцій, входять у рівняння. Отже, безліч рішень рівняння - безліч всіх дійсних чисел, крім x = kp, де kГЋZ.
Відповідь: x В№ kp, де kГЋZ.
Вирішити рівняння.
Рішення: У цього рівняння немає коренів, так як область значень функції при x Ві 1 є безліч невід'ємних чисел, а функція при всіх x приймає негативні значення.
Вирішити рівняння:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Відповіді: а) x> 0, x В№ 1; б) ГЄxГЄ ВЈ 1; в) x В№ 0; г) x Ві 0; д) Немає коренів; е) x В№ 0.
Використання екстремальних значень функцій
Сутність цього способу вирішення рівнянь в тому, що оцінюються права і ліва частини рівняння F (x) = G (x) і, якщо одна з функцій приймає значення не менше деякого числа А, а інша - не більше цього ж числа А, то дане рівняння замінюється системою рівнянь:
Цей спосіб може бути застосований до вирішення наступних рівнянь:
в обох частинах рівняння стоять функції різного виду;
в однієї частини рівняння функція, обмежена зверху, а в іншій - обмежена знизу;
в однієї частини рівняння стоїть функція, обмежена зверху чи знизу, а в інший - Конкретне число.
Розглянемо конкретні приклади.
2.1 Вирішити рівняння
Рішення: Оцінимо праву і ліву частини рівняння:
а) , Так як, а;
б) , Так як.
Оцінка частин рівняння показує, що ліва частина не менше, а права не більше двох при будь-яких допустимих значеннях змінної x. Отже, дане рівняння рівносильне системі
Перше рівняння системи має тільки один корінь х = -2. Підставляючи це значення у друге рівняння отримуємо вірне числове рівність:
Відповідь: x = -2.
2.2 Вирішити рівняння
Рішення: ліва частина рівняння не більше двох, а права - не менше двох, отже, дане рівняння рівносильне системі:
Друге рівняння в цій системі має єдиний корінь х = 0. Підставляючи знайдене значення х у перше рівняння, отримуємо вірне числове рівність.
Відповідь: х = 0.
2.3 Вирішити рівняння
Рішення: Оцінимо ліву частину рівняння:, отже,. Отримали, що в даному рівнянні ліва частина не більше восьми, а права частина дорівнює дев'яти при всіх дійсних значеннях змінної х, тому дане рівняння не має коренів.
Відповідь: немає коренів.
2.4 Вирішити рівняння:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Відповіді: а) p; б) 0; у) 0; г) 0.5; д) 1; е) немає коренів.
Використання монотонності функцій
Цей спосіб заснований на наступних теоретичних фактах:
Якщо одна функція зростає, а інша убуває на одному і тому ж проміжку, то графіки їх або тільки один раз перетнуться, або взагалі не перетнуться, а це означає, що рівняння F (x) = G (x) має єдине рішення, або взагалі не має рішень;
Якщо на деякому проміжку одна з функцій убуває (зростає), а інша приймає постійні значення, то рівняння F (x) = G (x) або має єдиний корінь, або не має коренів.
Сутність цього способу полягає в тому, досліджуються на монотонність ліва і права частини рівняння і, якщо виявляється, що функції задовольняють якого - або з наведених умов, то знайдене добором рішення буде єдиним коренем рівняння.
Цей спосіб можна використовувати для вирішення наступних типів рівнянь:
рівняння, в обох частинах яких стоять функції різного виду;
рівняння, в одній частині яких спадна, а в іншій - зростаюча на даному проміжку функції;
рівняння, одна частина яких - зростаюча або спадна функція, а друга - число.
Розглянемо приклади.
3.1 Вирішити рівняння
Рішення: область визначення даного рівняння x> 0. Досліджуємо на монотонність функції . Перша з них-спадна (так як це - логарифмічна функція з основою більше нуля, але менше одиниці), а друга - зростаюча (Це лінійна функція з позитивним коефіцієнтом при х). Підбором легко знаходиться корінь рівняння х = 3, який є єдиним рішенням даного рівняння.
Відповідь: х = 3.
3.2 Вирішити рівняння
Рішення: Даному рівнянню задовольняє число х = 2. Перевіримо, чи задовольняють функції, утворюють рівняння, умовам, при яких можна стверджувати, що інших коренів немає. Спочатку розглянемо. Досліджуємо її на монотонність за допомогою похідної:. Вирішуємо біквадратное рівняння
,
,
тому при всіх значеннях хГЋR., отже, функція f (x) - зростаюча.
Тепер досліджуємо функцію. Як легко встановити, вона убуває при всіх значеннях хГЋR. З проведеного дослідження можна зробити висновок, що х = 2 - єдиний корінь даного рівняння.
Відповідь: х = 2
3.3 Вирішити рівняння
Рішення: Легко перевірити, що х = 1 - корінь даного рівняння, але ми поки не можемо стверджувати, що інших коренів немає, так як і ліва і права частини рівняння - зростаючі функції. Перетворимо дане рівняння до виду. Функція в лівій частині - сума двох спадних функцій, а отже, вона також спадна. У правій же частині варто постійна функція. Таким чином, аналізованих рівняння може мати тільки один корінь.
Відповідь: х = 1
3.4 Вирішити рівняння:
а) 2x3 +9 x2 +150 x-161 = 0
б) 13x +7 x = 2
в) 2x +5 x = 2-tgx
г)
д)
е) x +2 = 76-x
Відповіді: а) х = 1, б) х = 0; у) х = 0; г) х = 2; д) х = 4; е) х = 5.
В Наприкінці наведемо список літератури, по якому читачі зможуть самостійно вивчити, як використовувати різні властивості функцій при розв'язуванні рівнянь.
Список літератури
Аксьонов А.А. Рішення задач методом оцінки.// Математика в школі, 1999, № 3, с. 30
Дорофєєв Г.В., Потапов М.К., Розов Н.Х. Посібник з математики для вступників до ВНЗ. М.: Наука, 1976
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по елементарній математиці: алгебра, тригонометрія. М.: Просвещение, 1991
Шаригін І.М., Голубєв В.І. Рішення задач: Навчальний посібник для 11 класів загальноосвітніх установ. - М.: Просвещение, 1995
