Т.С. Кармакова , доцент кафедри алгебри ХДПУ
У різних питаннях теорії чисел, математичного аналізу, теорії рекурсивних функцій і в інших питаннях математики використовуються поняття цілої і дробової частин дійсного числа.
В програму шкіл і класів з поглибленим вивченням математики включені питання, пов'язані з цими поняттями, але на їх виклад у підручнику алгебри для 9 класу [1] відведено всього 34 рядки. Розглянемо більш докладно цю тему.
Визначення 1
Цілою частиною дійсного числа х називається найбільше ціле число, не перевершує х.
Ціла частина числа позначається символом [х] і читається так: "ціла частина х" або: "ціла частина від х". Іноді ціла частина числа позначається Е (х) і читається так: "Антьє х" або "Антьє від х". Друге назва походить від французького слова entiere - цілий.
Приклад.
Обчислити [x], якщо х приймає значення:
1,5; 3; -1.3; -4.
Рішення
З визначення [x] слід:
[1,5] = 1, тому 1Z, 1 1,5
[3] = 3, тому що 3Z, 3 3
[-1,3] = -2, тому -2Z, -2 -1,3
[-4] = -4, тому -4Z, -4-4.
Властивості цілої частини дійсного числа.
1 В°. [X] = x, якщо хZ
2 В°. [X] x пЂј [x] + 1
3 В°. [X + m] = [x] + m, де m Z
Розглянемо приклади використання цього поняття в різних завданнях.
Приклад 1
Вирішити рівняння:
1.1 [x] = 3
[x + 1,3] = - 5
[x + 1] + [x - 2] - [x + 3] = 5
1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0
Рішення
1.1 [x] = 3. По властивості 2 В° дане рівняння рівносильне нерівності 3 х пЂј 4
Відповідь: [3; 4)
[x + 1,3] = - 5. По властивості 2 В°:
- 5 х + 1,3 пЂј - 4 - 6,3 х пЂј - 5,3
Відповідь: [-6,3; -5,3)
[x + 1] + [x - 2] - [x + 3] = 5. По властивості 3 В°:
[x] + 1 + [x] - 2 - [x] - 3 = 5
[x] = 9 вересня x пЂј 10 (по 2 В°)
Відповідь: [9; 10)
1.4 [x] - 7 [x] + 10 = 0 Нехай [x] = t, тоді t - 7 t + 10 = 0, тобто
Відповідь: [2, 3) [5; 6)
Приклад 2.
Вирішити нерівності:
2.1 [x] 2
[x]> 2
[x] 2
[x] <2
[x] - 8 [x] + 15 0
Рішення
2.1 Згідно з визначенням [x] і 1 В°, цьому нерівності задовольняють х
Відповідь: [2;).
2.2 Рішення цієї нерівності: х.
Відповідь: [3;).
2.3 x <3
2.4 x <2
2.5 Нехай [x] = t, тоді дане нерівність рівносильне системі
3
Відповідь: [3; 6 ).
2.6 Нехай [x] = t, тоді отримаємо.
Відповідь: (-.
Приклад 4.
Побудуйте графік функції y = [x]
Рішення
1). ООФ: х R
2). МЗФ: y Z
3). Т.к. при х О [m; m + 1), де m Про Z, [x] = m, то і y = m, тобто графік являє сукупність нескінченної кількості горизонтальних відрізків, з яких виключені їх праві кінці. Наприклад, х О [-1; 0) Ю [x] = -1 Ю y = - 1; x О [0; 1) Ю [x] = 0 Ю y = 0.
Примітка.
1. Маємо приклад функції, яка задається різними аналітичними виразами на різних ділянках.
2. Кружечками відзначені точки, що не належать графіком.
Визначення 2.
дробову частину дійсного числа х називається різниця х - [x]. Дробова частина числа х позначається символом {x}.
Приклад.
Обчислити {x}, якщо х приймає значення: 2,37; -4 ; 3,14. . .; 5.
Рішення
{2,37} = 0,37, тому {2,37} = 2,37 - [2,37] = 2,37 - 2 = 0,37.
, тому
{3,14 ...} = 0,14 ..., тому {3,14 ...} = 3,14 ... - [3,14 ...] = 3,14 ... -3 = 0,14 ...
{5} = 0, тому {5} = 5 - [5] = 5 - 5 = 0.
Властивості дробової частини дійсного числа.
1 В°. {X} = x - [x]
2 В°. 0 {x} <1
3 В°. {X + m} = {x}, де m Про Z
4 В°. {X} = x, якщо х О [0; 1)
5 В° Якщо {x} = а, a О [0; 1), то х = а + m, де m Про Z
6 В°. {X} = 0, якщо х О Z.
Розглянемо приклади застосування поняття {x} в різних вправах.
Приклад 1.
Вирішити рівняння:
1.1 {x} = 0,1
1.2 {x} = -0,7
{x} = 2,5
{x + 3} = 3,2
{x} - {x} +
Рішення
За 5 В° рішенням буде безліч
х = 0,1 + m, m Про Z
1.2 За 2 В° рівняння не має коренів, х О Ж
1.3 За 2 В° рівняння не має коренів, х О Ж
За 3 В° рівняння рівносильне рівнянню
{x} + 3 = 3,2 Ю {x} = 0,2 Ю x = 0,2 + m, m Про Z
1.5 Рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь
Відповідь: х =
х =
Приклад 2.
Вирішити нерівності:
2.1 {x} 0,4
2.2 {x} 0
{x + 4} <4,7
{x} -0,7 {x} + 0,2> 0
Рішення
2.1 За 5 В°: 0,4 + m x <1 + m, де m Про Z
2.2 По 1 В°: х О R
За 3 В°: {x} + 4 <4,7 Ю {x} <0,7.
За 5 В°: m
2.4 Так як {x} 0, то {x} - 1> 0, отже, отримаємо 2 {x} + 1 <Ю Ю {x} <1 Ю x О R
2.5 Вирішимо відповідне квадратне рівняння:
{x} - 0,7 {x} + 0,2 = 0 Ю Дане нерівність рівносильно сукупності двох нерівностей:
Відповідь: (0,5 + m; 1 + m) (k; 0,2 + k),
m Про Z, k О Z
Приклад 3.
Побудувати графік функції y = {x}
Побудова.
1). ООФ: x О R
2). МЗФ: y О [0; 1)
3). Функція y = {x} періодична і її період
T = m, m Про Z, тому якщо х О R, то (x + m) Про R
і (xm) Про R, де m Про Z і по 3 В° {x + m} =
{x - m} = {x}.
Найменший позитивний період дорівнює 1, тому якщо m> 0, то m = 1, 2, 3,. . . і найменше позитивне значення m = 1.
4). Так як y = {x} - періодична функція з періодом 1, то достатньо побудувати її графік на якому-небудь проміжку, довжиною 1, наприклад, на проміжку [0; 1), тоді на проміжках, одержуваних зрушеннями обраного на m, m Про Z, графік буде таким же.
а). Нехай х О [0; 1), тоді {x} = x і y = x. Отримаємо, що на проміжку [0; 1) графік даної функції представляє відрізок бісектриси перший координатного кута, з якого виключений правий кінець.
б). Скориставшись періодичністю, отримуємо нескінченна безліч відрізків, що утворюють з віссю Ох кут в 45 В°, з яких виключений правий кінець.
Примітка.
Кружечками відзначені точки, що не належать графіком.
Приклад 4.
Вирішити рівняння 17 [x] = 95 {x}
Рішення
Т.к. {X} О [0; 1), то 95 {x} О [0; 95), а, отже, і 17 [x] О [0; 95). Зі співвідношення
17 [x] О [0; 95) слід [x] О, тобто [X] може дорівнювати 0, 1, 2, 3, 4, і 5.
З даного рівняння випливає, що {x} =, тобто з урахуванням отриманого безлічі значень для
[x] робимо висновок: {x}, відповідно, може дорівнювати 0;
Т. оскільки потрібно знайти х, а х = [x] + {x}, то отримуємо, що х може дорівнювати
0;
Відповідь:
Примітка.
Аналогічне рівняння пропонувалося в 1 турі крайової математичної олімпіади для десятикласників у 1996 році.
Приклад 5.
Побудувати графік функції y = [{x}].
Рішення
ООФ: х О R, тому {X} О [0; 1), а ціла частина чисел з проміжку [0; 1) дорівнює нулю, то дана функція рівносильна y = 0
y
0 x
Приклад 6.
Побудуйте на координатній площині множину точок, задовольняють рівнянню {x} =
Рішення
Т. оскільки дане рівняння рівносильне рівнянню х =, m Про Z по 5 В°, то на координатній площині слід побудувати безліч вертикальних прямих х = + m, m Про Z
y
0 x
Список літератури
Алгебра для 9 класу: Учеб. посібник для учнів шкіл і класів з поглиблюючи. вивченням математики/Н. Я. Віленкін та ін, по ред. Н. Я. Виленкина. - М. Освіта, 1995 р.
В. Н. Березін, І. Л. Нікольська, Л. Ю. Березіна Збірник завдань для факультативних та позакласних занять з математики - М. 1985
А. П. Карп Даю уроки математики - М., 1982 р.
Журнал "Квант", 1976, № 5
Журнал "Математика в школі": 1973 № 1, № 3; 1981 № 1; 1982 № 2; 1983 № 1; 1984 № 1; 1985 № 3.
