Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки
Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Ортогональні поліноми і криві розподілу ймовірностей

Реферат Ортогональні поліноми і криві розподілу ймовірностей

Категория: Математика

Карпова Наталія Анатоліївна

Санкт-Петербурзький державний університет

Санкт Петербург 2003

Введення.

Математична статистика є наукою, яка вивчає співвідношення, настільки глибоко проникаючі в суть речей, що їх можна зустріти при самих різних обставинах. Результати досліджень, отримані за допомогою апарату математичної статистики, використовуються в самих різних областях науки і техніки, таких як біологія, медицина, анатомія, геологія, екологія, економіка, і т.д.

Дана дипломна робота присвячена розгляду двох основних задач математичної статистики:

отриманню кривої розподілу ймовірностей за наявною вибірці;

знаходженню залежності між двома випадковими величинами, заданими своїми вибірками.

Для вирішення першого завдання використовуються різні методи. У даній роботі розглянуто метод Карла Пірсона, представника англійської школи статистики. Їм було отримано диференціальне рівняння

,

а так само введений критерій Г¦ (каппа Пірсона), за допомогою якого Пірсон класифікував рішення цього диференціального рівняння і представив їх у вигляді дванадцяти типів.

Пізніше у своїх теоретичних дослідженнях Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для вирішення даної задачі використовується метод Пірсона знаходження кривої розподілу.

Для вирішення другого завдання використовується метод П.Л. Чебишева, творця Санкт - Петербурзької математичної школи. У статистиці ім'я знаменитого російського математика П. Л. Чебишева (1821-1894) відомо головним чином за так званому нерівності Чебишева, яке він запропонував для розподілу ймовірностей, і яке має силу для будь-якого статистичного розподілу чисельностей.

Однак за останній час в статистиці все більшого значення набувають ортогональні поліноми Чебишева, які мають особливе значення при визначенні множинної і криволінійної регресії і при обчисленні коефіцієнтів узагальненої функції нормального розподілу ймовірностей.

Чебишев запропонував загальну інтерполяційну формулу, при якій можливо інтерполювання в найрізноманітніших випадках. Ця інтерполяційна формула задовольняє умовам методу найменших квадратів і виражена за допомогою його ортогональних поліномів. Загальна інтерполяційна формула, або, інакше ряд Чебишева, запропонований Чебишевим в 1855 році. Вона має вигляд

.

Таким чином в дипломній роботі розглядаються два методи:

метод Пірсона знаходження кривих розподілу ймовірностей,

метод Чебишева отримання ортогональних поліномів,

які були покладені в основу узагальненого методу Грама - Шарльє знаходження кривої розподілу ймовірностей.

Глава 1. Система кривих Пірсона.

В даній главі ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді. Для її вирішення розглядається підхід К. Пірсона, який є видатним представником англійської статистичної школи.

В§ 1. Диференціальне рівняння Пірсона.

Розглянемо випадкову величину, задану своєї вибіркою, таким чином, можемо записати - статистичної розподіл. Ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді.

Метод Пірсона полягає в тому, що ми розглядаємо диференціальне рівняння Пірсона:

(1)

і досліджуємо, які рішення можна отримати при різних значеннях параметрів рівняння (1).

Загальний інтеграл цього рівняння представимо у вигляді:

де

.

Значення цього невизначеного інтеграла залежить від коренів рівняння

(2),

отже, від його дискримінанта

який можна написати у вигляді

,

вводячи параметр

Г¦.

Або інакше, величину Г¦ можна представити у вигляді:

Г¦,

де величини представимо через центральні моменти статистичних розподілів к-го порядку, які визначаються за формулою

,

де є

.

Тоді

,.

Через величини можна уявити і величини наступним чином [5]:

Величина Г¦ називається критерієм Пірсона (каппа Пірсона) і різні значення її дають нам наступні висновки про коріння рівняння:

А. Якщо Г¦, то і рівняння (1) має речові коріння різних знаків.

В. Якщо 0 <Г¦ <1, то і рівняння (1) має комплексні корені.

С. Якщо Г¦> 1, то і рівняння (1) має речові коріння одного знака.

Відповідно цих випадків Пірсон розрізняє три головних типи своїх кривих, які він назвав відповідно типами I, IV та VI. Потім Г¦ може дорівнювати, що дає перехідні типи кривих. Нарешті, приєднуючи деякі додаткові умови, ми можемо збільшити число перехідних типів. Всього система кривих Пірсона укладає 12 типів і нормальну криву.

В своїх розробках Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для розв'язання задачі ідентифікації використовується метод Пірсона.

В§ 2. Основні типи кривих Пірсона.

В цьому параграфі будуть розглянуті основні типи кривих розподілу ймовірностей, запропоновані та класифіковані Пірсоном.

Тип I.

Нехай Г¦ <0. Тоді

і рівняння (2) має речові коріння різних знаків:, так що можемо записати

.

Тоді права частина рівняння (1) може бути представлена ​​у вигляді:

,

де

.

Нехай ще

.

Тоді рівняння (1) перепишеться у вигляді

і загальний інтеграл його можна представимо у вигляді

,

де і значення і повинні задовольняти умовам

.

Тип I виходить, якщо полягає в інтервалі. Тоді

і

або, як зазвичай пишуть

.

Так як висловлюються певним чином через моменти, то, очевидно, і також виражаються через ті ж моменти. Для цього введемо число

.

Тоді просте перетворення дає такі формули:

.

Ці формули використовуються взагалі при обчисленні параметрів і інших кривих Пірсона.

Далі, користуючись цими ж формулами,

,

отже,

.

Потім

,

або, після простих підрахунків,

,

де

.

Таким чином, і являють корені рівняння

,

Коли знайдені і, і знаходяться за формулами

,

в яких

,.

Тут використано рівність

,

яке виходить, так ми маємо

,

і

,

отже,

,

звідки

(так як), потрібно брати .

Таким образам, і є корені рівняння

і і за формулами

,

в яких

,

де знаходиться з рівності

.

Залишається знайти. Воно знаходиться з рівності

.

При допомогою підстановки

ми знаходимо:

.

Отже,

.

Тип IV.

Другий головний тип кривих Пірсона, відповідний значенням

0 <Г¦ <1, коли рівняння (1) має комплексні корені.

Нехай ці корені рівні

,

де

.

Тоді рівняння (1) буде

,

звідки

,

і

,

або

, (3)

причому

.

Параметри кривої (3), виражаються таким чином через моменти і константи:

(тут , І),

,

де - Функція Пірсона, яка визначається рівністю

.

Інтеграл в правій частині можна привести до іншого виду:

підстановка

призводить його до вигляду

.

Зазвичай, вважаючи

,

пишуть у вигляді

,

де

.

Тип VI.

Третій головний тип кривих Пірсона, відповідний значенням кри...


Страница 1 из 4Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Товары
загрузка...
Наверх Зворотнiй зв'язок