Карпова Наталія Анатоліївна
Санкт-Петербурзький державний університет
Санкт Петербург 2003
Введення.
Математична статистика є наукою, яка вивчає співвідношення, настільки глибоко проникаючі в суть речей, що їх можна зустріти при самих різних обставинах. Результати досліджень, отримані за допомогою апарату математичної статистики, використовуються в самих різних областях науки і техніки, таких як біологія, медицина, анатомія, геологія, екологія, економіка, і т.д.
Дана дипломна робота присвячена розгляду двох основних задач математичної статистики:
отриманню кривої розподілу ймовірностей за наявною вибірці;
знаходженню залежності між двома випадковими величинами, заданими своїми вибірками.
Для вирішення першого завдання використовуються різні методи. У даній роботі розглянуто метод Карла Пірсона, представника англійської школи статистики. Їм було отримано диференціальне рівняння
,
а так само введений критерій Г¦ (каппа Пірсона), за допомогою якого Пірсон класифікував рішення цього диференціального рівняння і представив їх у вигляді дванадцяти типів.
Пізніше у своїх теоретичних дослідженнях Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для вирішення даної задачі використовується метод Пірсона знаходження кривої розподілу.
Для вирішення другого завдання використовується метод П.Л. Чебишева, творця Санкт - Петербурзької математичної школи. У статистиці ім'я знаменитого російського математика П. Л. Чебишева (1821-1894) відомо головним чином за так званому нерівності Чебишева, яке він запропонував для розподілу ймовірностей, і яке має силу для будь-якого статистичного розподілу чисельностей.
Однак за останній час в статистиці все більшого значення набувають ортогональні поліноми Чебишева, які мають особливе значення при визначенні множинної і криволінійної регресії і при обчисленні коефіцієнтів узагальненої функції нормального розподілу ймовірностей.
Чебишев запропонував загальну інтерполяційну формулу, при якій можливо інтерполювання в найрізноманітніших випадках. Ця інтерполяційна формула задовольняє умовам методу найменших квадратів і виражена за допомогою його ортогональних поліномів. Загальна інтерполяційна формула, або, інакше ряд Чебишева, запропонований Чебишевим в 1855 році. Вона має вигляд
.
Таким чином в дипломній роботі розглядаються два методи:
метод Пірсона знаходження кривих розподілу ймовірностей,
метод Чебишева отримання ортогональних поліномів,
які були покладені в основу узагальненого методу Грама - Шарльє знаходження кривої розподілу ймовірностей.
Глава 1. Система кривих Пірсона.
В даній главі ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді. Для її вирішення розглядається підхід К. Пірсона, який є видатним представником англійської статистичної школи.
В§ 1. Диференціальне рівняння Пірсона.
Розглянемо випадкову величину, задану своєї вибіркою, таким чином, можемо записати - статистичної розподіл. Ставиться завдання знаходження закону розподілу випадкової величини в зручному для практичного використання вигляді.
Метод Пірсона полягає в тому, що ми розглядаємо диференціальне рівняння Пірсона:
(1)
і досліджуємо, які рішення можна отримати при різних значеннях параметрів рівняння (1).
Загальний інтеграл цього рівняння представимо у вигляді:
де
.
Значення цього невизначеного інтеграла залежить від коренів рівняння
(2),
отже, від його дискримінанта
який можна написати у вигляді
,
вводячи параметр
Г¦.
Або інакше, величину Г¦ можна представити у вигляді:
Г¦,
де величини представимо через центральні моменти статистичних розподілів к-го порядку, які визначаються за формулою
,
де є
.
Тоді
,.
Через величини можна уявити і величини наступним чином [5]:
Величина Г¦ називається критерієм Пірсона (каппа Пірсона) і різні значення її дають нам наступні висновки про коріння рівняння:
А. Якщо Г¦, то і рівняння (1) має речові коріння різних знаків.
В. Якщо 0 <Г¦ <1, то і рівняння (1) має комплексні корені.
С. Якщо Г¦> 1, то і рівняння (1) має речові коріння одного знака.
Відповідно цих випадків Пірсон розрізняє три головних типи своїх кривих, які він назвав відповідно типами I, IV та VI. Потім Г¦ може дорівнювати, що дає перехідні типи кривих. Нарешті, приєднуючи деякі додаткові умови, ми можемо збільшити число перехідних типів. Всього система кривих Пірсона укладає 12 типів і нормальну криву.
В своїх розробках Колмогоров А. Н. і Марков А. А. довели, що будь-який закон розподілу може бути записаний у вигляді одного з дванадцяти типів кривих Пірсона, тому для розв'язання задачі ідентифікації використовується метод Пірсона.
В§ 2. Основні типи кривих Пірсона.
В цьому параграфі будуть розглянуті основні типи кривих розподілу ймовірностей, запропоновані та класифіковані Пірсоном.
Тип I.
Нехай Г¦ <0. Тоді
і рівняння (2) має речові коріння різних знаків:, так що можемо записати
.
Тоді права частина рівняння (1) може бути представлена ​​у вигляді:
,
де
.
Нехай ще
.
Тоді рівняння (1) перепишеться у вигляді
і загальний інтеграл його можна представимо у вигляді
,
де і значення і повинні задовольняти умовам
.
Тип I виходить, якщо полягає в інтервалі. Тоді
і
або, як зазвичай пишуть
.
Так як висловлюються певним чином через моменти, то, очевидно, і також виражаються через ті ж моменти. Для цього введемо число
.
Тоді просте перетворення дає такі формули:
.
Ці формули використовуються взагалі при обчисленні параметрів і інших кривих Пірсона.
Далі, користуючись цими ж формулами,
,
отже,
.
Потім
,
або, після простих підрахунків,
,
де
.
Таким чином, і являють корені рівняння
,
Коли знайдені і, і знаходяться за формулами
,
в яких
,.
Тут використано рівність
,
яке виходить, так ми маємо
,
і
,
отже,
,
звідки
(так як), потрібно брати .
Таким образам, і є корені рівняння
і і за формулами
,
в яких
,
де знаходиться з рівності
.
Залишається знайти. Воно знаходиться з рівності
.
При допомогою підстановки
ми знаходимо:
.
Отже,
.
Тип IV.
Другий головний тип кривих Пірсона, відповідний значенням
0 <Г¦ <1, коли рівняння (1) має комплексні корені.
Нехай ці корені рівні
,
де
.
Тоді рівняння (1) буде
,
звідки
,
і
,
або
, (3)
причому
.
Параметри кривої (3), виражаються таким чином через моменти і константи:
(тут , І),
,
де - Функція Пірсона, яка визначається рівністю
.
Інтеграл в правій частині можна привести до іншого виду:
підстановка
призводить його до вигляду
.
Зазвичай, вважаючи
,
пишуть у вигляді
,
де
.
Тип VI.
Третій головний тип кривих Пірсона, відповідний значенням кри...