Контрольна робота з вищої математики
1. Межі послідовностей та функцій
Числовий послідовністю називається числова функція, визначена на множині натуральних чисел. Задати числову послідовність означає задати закон, за яким можна визначити значення будь-якого члена послідовності, знаючи його порядковий номер п; для цього достатньо знати вираз загального або п-го члена послідовності у вигляді функції його номера:.
В основі всіх положень математичного аналізу лежить поняття межі числової послідовності. Число А називається границею числової послідовності, якщо для будь-якого як завгодно малого додатного числа e існує такий номер, що залежить від обраного e, починаючи з якого всі члени послідовності відрізняються від А по модулю менше, ніж на e, т. тобто
при.
Якщо послідовність має межу А, то вона називається збіжної (до числа А) і цей факт записують таким чином:
.
Нехай функція визначена в деякій околиці точки. Виберемо в деякій околиці цієї точки якусь послідовність сходяться до точці:. Значення функції у вибраних точках утворюють послідовність, і можна ставити питання про існування межі цієї послідовності.
Число А називається границею функції в точці, якщо для будь збіжної до послідовності значень аргументу, відмінних від, відповідна послідовність значень функції сходиться до числа А, тобто
.
Можливо інше визначення границі функції в точці: число А називається межею функції при , Якщо для всякого позитивного числа e можна вказати інше позитивне число d (залежне від вибору e) таке, що абсолютна величина різниці буде менше e, коли абсолютна величина різниці буде менше, але більше нуля
, якщо при.
Таким чином, перше визначення границі функції засноване на понятті межі числової послідовності, і його називають визначенням на В«мові послідовностей В». Друге визначення носить назву В«на мовіВ».
Крім поняття границі функції в точці, існує також поняття границі функції при прагненні аргументу до нескінченності: число А називається межею функції при, якщо для будь-якого числа існує таке число d, що при всіх справедливо нерівність:.
Теореми про межах функцій є базою для загальних правил знаходження меж функцій. Можна показати, що арифметичні операції над функціями, що мають межу в точці, призводять до функцій, також мають межу в цій точці.
Приклади
Знайти межа функції
Рішення: Маємо невизначеність виду. Для її розкриття розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на спільний множник, який при не дорівнює нулю. У результаті невизначеність буде розкрита.
2. Похідна та диференціал
Нехай функція визначена в деякій околиці точки.
Похідною функції в точці називається границя відношення, коли (якщо ця межа існує). Похідна функції в точці позначається
.
Наприклад, вираз слід розуміти як похідну функції в точці.
Визначення похідної можна записати у вигляді формули
. (4.1)
Межа (4.1) може не існувати. У цьому випадку говорять, що функція не має похідної в точці. Якщо межа (4.1) дорівнює, то кажуть, що функція має в точці нескінченну похідну.
В різних задачах (в тому числі й економічних) похідна функції інтерпретується як швидкість зміни величини y відносно x. Геометричний зміст похідної полягає в тому, що - це тангенс кута нахилу дотичної до графіком в точці.
Знаходження похідної функції називається диференціюванням цієї функції. Якщо функція в точці х має кінцеву похідну, то функція називається дифференцируемой в цій точці.
Вкажемо правила диференціювання, які зводять обчислення похідних одних функцій до обчислення похідних інших (більш простих) функцій.
Якщо функції діфференцируєми в точці, то сума, різниця, твір і приватне цих функцій також діфференцируєми в точці, і справедливі наступні формули
.
Якщо функція має зворотну функцію і в точці похідна, то зворотна функція диференційована в точці і чи.
Якщо функція диференційована в точці і, то складна функція також дифференцируема в і вірна наступна формула
або.
Приклад.
Знайти похідну функції
Рішення:
3 Геометричні викладу і диференційовані обчислення (Побудова графіків)
Функція , Визначена у всіх точках проміжку, називається зростаючою (спадною) в цьому проміжку, якщо для будь-яких двох значень аргументу, що належать цьому проміжку, більшого з них відповідає більшу (меншу) значення функції, т. е,
якщо то при
- зростаюча, - спадна.
З даного визначення випливає, що для зростаючої функції збільшення аргументу і функції має один і той же знак, в силу чого їх відношення позитивно:. Для спадною функції ці прирости мають різні знаки, в силу чого. Ті значення аргументу, при яких функція досягає своїх найбільших і найменших по Порівняно з близькими значень, називаються точками максимуму і мінімуму (точками екстремуму).
Точка називається точкою максимуму (мінімуму) неперервної функції, а значення називається максимумом (мінімумом) цієї функції, якщо існує деяка околиця точки така, що значення функції в будь-якій точці цієї околиці буде менше (більше), ніж її значення в самій точці, тобто менше (Більше), ніж максимум (мінімум) (рис. 1).
у max у
min
f (х0) f (х0)
Про х0-d х0 х0 + d х Про х0-d х0 х0 + d х
точка максимуму
точка мінімуму
Рис. 1
З визначень точок екстремуму випливає, що поза d-околі точки екстремуму поведінку функції довільно, тобто поняття максимуму і мінімуму функції носять характер локальних (місцевих), а не абсолютних понять.
Щоб встановити ознаки зростання та спадання і ознаки екстремуму функцій, розглянемо ряд важливих теорем математичного аналізу, на які спираються всі подальші дослідження функцій.
Рекомендується дослідження функцій проводити в певній послідовності.
1. Знайти область визначення функції; точки розриву та їх характер; вертикальні асимптоти графіка.
2. Визначити можливий тип симетрії функції (парність, непарність функції); точки перетину графіка функції з осями координат, тобто вирішити рівняння і.
3. Знайти похилі і горизонтальні асимптоти графіка функції.
4. Використовувати першу похідну для визначення області зростання та спадання і екстремумів функції.
5. Використовувати другу похідну для визначення ділянок опуклості і угнутості графіка і точок перегину.
6. Побудувати графік функції з урахуванням проведеного дослідження.
Приклад. Провести повне дослідження функції
Рішення:
Проведемо повне дослідження функції, використовуючи наступну схему:
знайти область визначення функції;
досліджувати на парність і непарність функцію;
знайти точки розриву функції;
знайти асимптоти (вертикальні, похилі і горизонтальні) графіка функції;
знайти точки перетину графіка функції з координатними осями;
досліджувати функцію на монотонність (вказавши інтервали зростання і зменшення) і екстремум;
визначити інтервали опуклості й угнутості графіка функції, точки перегину;
при необхідності обчислити значення функції в додаткових точках;
побудувати схематично графік функції, використовуючи результати отримані в пунктах 1-8.
Областю визначення функції є безліч.
Так як і, то функція не є ні парною, ні непарною.
Функція зазнає розрив в точці.
Знайдемо асимптоти графіків функції:
а). Пряма є вертикальною асимптотою, тому що
,
б). Знаходимо похилі і горизонтальні асимптоти (горизонтальні асимптоти є окремим випадком похилих асимптот),
де
Таким чином, пряма є єдиною похилій...
