Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Інтеграл та його застосування

Реферат Інтеграл та його застосування

Категория: Математика

Реферат

Володимир 2002 рік

Володимирський державний університет, Кафедра загальної та прикладної фізики

Вступ

Символ інтеграла введений з 1675г., а питаннями інтегрального числення займаються з 1696г. Хоча інтеграл вивчають, в основному, вчені-математики, а й фізики внесли свій внесок у цю науку. Практично жодна формула фізики не обходиться без диференціального і інтегрального числень. Тому, я і вирішила дослідити інтеграл та його застосування.

Історія інтегрального числення

Історія поняття інтеграла тісно пов'язана із завданнями знаходження квадратур. Завданнями про квадратуру тієї чи іншої плоскої фігури математики Стародавньої Греції та Риму називали задачі на обчислення площ. Латинське слово quadratura перекладається як "надання квадратної форми ". Необхідність у спеціальному терміні пояснюється тим, що в антічнoe час (і пізніше, аж до XVIII століття) ще не були достатньо розвинені уявлення про дійсних числах. Математики оперували з їх геометричними аналогами або скалярними величинами, які не можна перемножувати. Тому і завдання на знаходження площ припадало формулювати, наприклад, так: В«Побудувати квадрат, рівновеликий даному колу В». (Ця класична задача "про квадратуру кола "колаВ» не може, як відомо, бути вирішена за допомогою циркуля і лінійки.)

Символ ГІ введений Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви слова summ a). Саме слово інтеграл придумав Я. Б е р н у л л і (1690 р.). Ймовірно о, воно походить від латинського integro , Яке переводиться як призводить ь в колишній стан, відновлювати. (Дійсно, операція інтегрування В« відновлює В» функцію, диференціюванням якої отримана підінтегральна функція.) Можливо, походження терміну інте Граля інше: слово integer означає цілий.

У ході листування І. Бернуллі і Г. Лейбніц Погодьтеся ись з пропозицією Я. Бернуллі. Тоді ж, в 1696 р., з'явилося і назва нової гілки математики-інтегральне числення (calculus integralis ), яке ввів І. Бернуллі.

Інші відомі Єрмінь, відносяться до інтегрального числення, з'явилися помітно пізніше. Употребляющееся зараз назву первообразная функція замінило бол її раннє В«примітивна функціяВ», яке ввів Лагранж (1797 р.). Латинське сл ово primitivus перекладається як В«початковийВ»: F (x) = ГІ f (x) dx - початкова (або первісна, або первообразная) для f (X), яка виходить з F (x) диференціюванням.

В сучасній літературі безліч всіх первісних для функції f (х) називається також невизначеним інтегралом. Це поняття виділив Лейбніц, який помітив, що НД е первісні функції відрізняються на довільну ю постійні ю. b

А ГІ f (x) dx

a

називають визначеним інтегралом (Обоз начення ввів К. Фур'є (1768-1830), але межі інтегрування вказував вже Ей лер).

Багато значні досягнення математиків Стародавньої Греції у вирішенні задач на знаходження квадратур (тобто обчислення площ) плоских фігур, а також кубатур (Обчислення об'ємів) тел пов'язані із застосуванням методу вичерпання, запропонованим Евдоксом Кнідським (бл. 408 - бл. 355 до н.е.). За допомогою цього методу Евдокс довів, наприклад, що площі двох кругів відносяться як квадрати їх діаметрів, а обсяг конуса дорівнює 1/3 об'єму циліндра, що має такі ж основу і висоту.

Метод Евдокса був вдосконалений Архімедом. Основні етапи, що характеризують метод Архімеда: 1) доводиться, що площа кола менше площі будь-якого описаного біля нього правильного багатокутника, але більше площі будь-якого вписаного; 2) доводиться, що при необмеженому подвоєнні числа сторін різниця площ цих багатокутні іков прагне до нуля; 3) для обчислення площі круга залишається знайти значення, до якого прагне відношення площі правильного багатокутника при необмеженій подвоєнні числа його сторін.

З допомогою методу вичерпання, цілого ряду інших дотепних розумінь (в тому числі із залученням моделей механіки) Архімед вирішив багато завдань. Він дав оцінку числа p (3.10/71

Архімед передбачив багато ідей інтегрального числення. (Додамо, що практично і перші теореми про границі були доведені їм.) Але знадобилося понад півтори тисячі років, перш ніж ці ідеї знайшли чітке вираження й були доведені до рівня вирахування.

Математики XVII століття, отримали багато нових результати, навчалися на працях Архімеда. Активно застосовувався й інший метод - метод неподільних, який також зародився в Древній Греції (він пов'язаний в першу чергу з атомістичні поглядами Демокрита). Наприклад, криволінійну трапецію (Рис. 1, а) вони уявляли собі складеної з вертикал ьних відрізків довжиною f (х), яким проте приписували площа, одно ю нескінченно малою величиною f (х) dx . У відповідності з таким розумінням шукана площа вважалася рівній сумі

S = ГҐ f (x) dx

a

нескінченно великого числа нескінченно малих площ. Іноді навіть підкреслювалося, що окремі доданки в цій сумі - нулі, але нулі особливого роду, які, складені в нескінченному числі, дають цілком певну позитивну суму.

На такої гаданої тепер по Щонайменше сумнівною основі І. Кеплер (1571-1630) у своїх творах "Нова астрономія".

Рис 1.

(1609 р.) і В«Стереометрія винних бочок В»(1615 р.) правильно обчислив ряд площ (наприклад, площа фігури обмеженою еліпсом) і обсягів (тіло розрізали на 6ecконечно тонкі пластинки). Ці дослідження були продовжені італійськими математиками Б. Кавальєрі (1598-1647) і Е. Торрічеллі (1608-1647). Зберігає своє значення і в наш час сформульований Б. Кавальєрі принцип, введений їм при деяких додаткових припущеннях.

Нехай потрібно знайти площу фігури, зображеної на малюнку 1, б, де криві, що обмежують фігуру зверху і знизу, мають рівняння y = f (x) і y = f (x) + c.

Представляючи фігуру складеної з В«неподільнихВ», по термінології Кавальєрі, нескінченно тонких стовпчиків, помічаємо, що всі вони мають загальну довжину с. Пересуваючи їх у вертикальному напрямку, можемо скласти з них прямокутник з основою b-а і висотою с. Тому шукана площа дорівнює площі отриманого прямокутника, тобто

S = S1 = c (b - а).

Загальний принцип Кавальєрі для площ плоских фігур формулюється так: Нехай прямі деякого пучка паралельних перетинають фігури Ф1 і Ф2 по відрізкам рівної довжини (рис. 1, в). Тоді площі фігур Ф1 і Ф2 рівні.

Аналогічний принцип діє в стереометрії та виявляється корисні м при знаходженні обсягів.

У XVII в. були зроблені багато відкриттів, що відносяться до інтегрального числення. Так, П.Ферма вже в 1629 р. задачу квадратури будь-який кривою у = хn, де п - ціле (т.е по суті вивів формулу ГІ хndx = (1/n +1) хn +1), і на цій основі вирішив ряд задач на знаходження центрів ваги. І. Кеплер при висновку своїх знаменитих законів руху планет фактично спирався на ідею наближеного інтегрування. І. Барроу (1630-1677), учитель Ньютона, близько підійшов до розумінню зв'язку інтегрування і диференціювання. Велике значення мали роботи за поданням функцій у вигляді степеневих рядів.

Однак при всій значимості результатів, отриманих багатьма надзвичайно винахідливими математиками XVII століття обчислення ще не було. Необхідно було виділити загальні ідеї лежать в основі рішення багатьох приватних завдань, а також встановити зв'язок операцій диференціювання й інтегрування, що дає досить загальний алгоритм. Це зробили Ньютон і Лейбніц, що відкрили незалежно один від друга факт, відомий під назвою формули Ньютона - Лейбніца. Тим самим остаточно оформився загальний метод. Попереду було ще навчиться знаходити первісні багатьох функцій, дати логічні нового обчислення і т. п. Але головне вже бул...


Страница 1 из 3Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Реклама
Наверх Зворотнiй зв'язок