Розглянемо випадок багаторазового повторення одного і того ж випробування або випадкового експерименту. Результат кожного випробування будемо вважати не залежних від того, який результат наступив в попередніх випробуваннях. В якості результатів або елементарних исходов кожного окремого випробування будемо розрізняти лише дві можливості:
1) поява деякої події А;
2) поява події, (події, що є доповненням А)
Нехай ймовірність P (A) появи події А постійна і дорівнює p (0.p1). Імовірність P () події позначимо через q: P () = 1 - p = q.
Прикладами таких випробувань можуть бути:
1) підкидання монети: А - випадання герба; - випадання цифри.
P (A) = P () = 0,5.
2) кидання гральної кістки: А - випадання кількості очок, рівного п'яти, випадання будь-якого кількості очок крім п'яти.
P (A) = 1/6, P () = 5/6.
3) витяг навмання з урни, що містить 7 білих і 3 чорних кулі, одного кулі (з поверненням): А - витяг білого кулі, - витяг чорного кулі
P (A) = 0,7; P () = 0,3
Нехай вироблено n випробувань, які ми будемо розглядати як один складний випадковий експеримент. Складемо таблицю з n клітин, розташованих в ряд, пронумеруємо клітини, і результат кожного випробування будемо відзначати так: якщо в i-м випробуванні подія А сталося, то в i-ю клітку ставимо цифру 1, якщо подія А не відбулося (сталася подія), в i-ю клітку ставимо 0.
Якщо, наприклад, проведено 5 випробувань, і подія А відбулося лише у 2-му і 5-му випробуваннях, то результат можна записати такою послідовністю нулів і одиниць: 0; 1; 0; 0; 1.
Кожному можливого результату n випробувань буде відповідати послідовність n цифр 1 або 0, чергуються в тому порядку, в якому з'являються події A і в n випробуваннях, наприклад:
1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; ... 0; 1; 1; 0
14444442444443
n цифр
Всього таких послідовностей можна скласти (це читач може довести сам).
Так як випробування незалежні, то ймовірність P кожного такого результату визначається шляхом перемноження ймовірностей подій A і у відповідних випробуваннях. Так, наприклад, для написаного вище результату знайдемо
P =
Якщо в написаної нами послідовності одиниця зустрічається х разів (це означає, що нуль зустрічається n-x разів), то ймовірність відповідного результату буде pnqn-x незалежно від того, в якому порядку чергуються ці x одиниць і n-x нулів.
Всі події, полягають в тому, що в n випробуваннях подія A сталося x разів, а подія сталася nx раз, є несумісними. Тому для обчислення ймовірності об'єднання цих подій (або суми цих подій), потрібно скласти ймовірності всіх цих подій, кожна з яких дорівнює pnqn-x. Всього таких подій можна нарахувати стільки, скільки можна утворити різних послідовностей довжини n, що містять x цифр "1" і n-x цифр "0". Таких послідовностей виходить стільки, скількома способами можна розмістити x цифр "1" (або n-x цифр "0") на n місцях, тобто число цих послідовностей дорівнює
Звідси виходить формула Бернуллі:
Pn (x) =
За формулою Бернуллі розраховується ймовірність появи події A "x" раз в n повторних незалежних випробуваннях, де p - ймовірність появи події A в одному випробуванні, q - ймовірність появи події в одному випробуванні.
Сформульовані умови проведення випробувань іноді називаються "схемою повторних незалежних випробувань "або" схемою Бернуллі "
Число x появи події A в n повторних незалежних випробуваннях називається частотою.
Приклад. З урни, що містить 2 білих і 6 чорних куль, навмання вибирається з поверненням 5 раз поспіль одна куля. Підрахувати ймовірність того, що 4 рази з'явиться білий куля.
У наведених вище позначеннях n = 8; p = 1/4; q = 3/4; x = 5. Шукану ймовірність обчислюємо за формулою Бернуллі:
За формулою Бернуллі можна підрахувати ймовірності всіх можливих частот: x = 0,1,2,3,4,5.
Зауважимо, що якщо в цьому завданні вважати, що білих куль було 20000, а чорних 60000, то очевидно p і q залишаться незмінними. Однак у цій ситуації можна знехтувати поверненням витягнутого кулі після кожної вибірки (при не дуже великих значеннях x) і вважати ймовірності всіх частот: x = 0,1,2, ... за формулою Бернуллі.
Формула Бернуллі при заданих числах p і n дозволяє розраховувати ймовірність будь частоти x (0 ВЈ x ВЈ n). Виникає природне запитання, який частоті буде відповідати найбільша ймовірність?
Припустимо, що така частота існує, і спробуємо її визначити з умови, що ймовірність цієї частоти не менше ймовірності "попередньої" і "Наступною" частот:
Pn (x) Ві Pn (x-1); Pn (x) Ві Pn (x +1) (*)
Перше нерівність (*) представляється у вигляді:
,
що еквівалентно або. Звідси випливає:
Вирішуючи другу нерівність (1), отримаємо
Таким чином, частота, що має найбільшу ймовірність (найімовірнішого частота), визначається подвійним нерівністю
Якщо np + p - ціле число (тоді і np-q - ціле число), то дві частоти: x = np-q і x = n p + p володіють найбільшою ймовірністю.
Завдання з рішеннями.
1. Кожен день акції корпорації АВС піднімаються в ціні або падають в ціні на один пункт з ймовірностями відповідно 0,75 і 0,25. Знайти ймовірність того, що акції після шести днів повернуться до своєї первісної ціною. Прийняти умову, що зміни ціни акції вгору і вниз - незалежні події.
Рішення. Для того, щоб акції повернулися за 6 днів до своєї первісної ціною, потрібно, щоб за цей час вони 3 рази піднялися в ціні і три рази опустилися в ціні. Шукана ймовірність розраховується за формулою Бернуллі
2. Мотори багатомоторних літака виходять з ладу під час польоту незалежно один від іншого з ймовірністю р. Багатомоторний літак продовжує летіти, якщо працює не менше половини його моторів. При яких значеннях р двомоторний літак надійніше чотиримоторного літака?
Рішення. Двомоторний літак терпить аварію, якщо відмовляють обидва його мотора. Це відбувається з імовірністю р2. Чотиримоторний літак терпить аварію, якщо виходять з ладу всі 4 мотора а це відбувається з імовірністю р4, або виходять з ладу три мотори з 4-х. Імовірність останньої події обчислюється за формулою Бернуллі:. Щоб двомоторний літак був надійніше, ніж чотиримоторний, потрібно, щоб виконувалася нерівність
р24 +4 p3 (1-p)
Це нерівність зводиться до нерівності (3р-1) (р-1) 1/3. Слід зазначити, що якщо б ймовірність виходу з ладу мотора літака перевищувала одну третину, сама ідея використання авіації для пасажирських перевезень була б дуже сумнівною.
3. Бригада з десяти чоловік йде обідати. Є дві однакові столові, і кожен член бригади незалежно один від іншого йде обідати в будь-яку з цих їдалень. Якщо в одну з їдалень випадково прийде більше відвідувачів, ніж у ній мається місць, то виникає черга. Яке найменше число місць повинно бути в кожній із їдалень, щоб ймовірність виникнення черги була менше 0,15?
Рішення. Рішення задачі доведеться шукати перебором можливих варіантів. Спочатку зауважимо, що якщо в кожній їдальні по 10 місць, то виникнення черги неможливо. Якщо в кожній їдальні по 9 місць, то черга виникне тільки у випадку, якщо всі 10 відвідувачів потраплять в одну столову. З умови задачі випливає, що кожен член бригади вибирає дану їдальню з імовірністю 1/2. Значить, все зберуться в одній їдальні з імовірністю 2 (1/2) 10 = 1/512. Це число багато менше, ніж 0,15, і слід провести розрахунок для восьмимісних їдалень. Якщо в кожній їдальні по 8 місць, то черга виникне, якщо всі члени бригади прийдуть в одну їдальню, імовірність цієї події вже обчислена, або 9 осіб підуть в одну їдальню, а 1 людина обере іншу їдальню. Імовірність цього події розраховується за допомогою формули Бернуллі. Таким чином, якщо в їдальнях по 8 місць, то черга виникає з імовірністю 11/512,...
