Випадковим (Стохастичним) експериментом або випробуванням називається здійснення якогось комплексу умов, який можна практично або в думках відтворити як завгодно велике число разів.
Приклади випадкового експерименту: підкидання монети, витягування однієї карти з перетасованої колоди.
Явища, відбуваються при реалізації цього комплексу умов, тобто в результаті випадкового експерименту, називаються елементарними наслідками. Вважається, що при проведенні випадкового експерименту реалізується тільки один з можливих елементарних фіналів.
Якщо монету підкинути один раз, то елементарними наслідками можна вважати випадання герба (Г) або цифри (Ц).
Якщо випадковим експериментом вважати трикратне підкидання монети, то елементарними наслідками можна вважати наступні:
ГГГ, ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ, ЦЦЦ.
Безліч всіх елементарних фіналів випадкового експерименту називається простором елементарних фіналів. Будемо позначати простір елементарних фіналів буквою W (омега велика) i-й елементарний результат будемо обозначатьw i (w-омега мала).
Якщо простір елементарних фіналів містить n елементарних фіналів, то
W = (w 1 , w 2 , ..., w n ).
Для троєкратного підкидання монети,
W = (ГГГ, ГГЦ, ... ЦЦЦ).
Якщо випадковий експеримент - підкидання гральної кістки, то W = (1,2,3,4,5,6).
Якщо W звичайно або лічильно, то випадковою подією або просто подією називається будь-яке підмножина W.
Безліч називається лічильним, якщо між ним і безліччю N натуральних чисел можна встановити взаємно-однозначна відповідність.
Приклад рахункового безлічі: безліч можливих значень часу прильоту інопланетян на Землю, якщо час відраховувати з цього моменту і обчислювати з точністю до секунди.
Приклади незчисленних множин: безліч точок на заданому відрізку, безліч чисел x, задовольняють нерівності 1
В випадку незліченної безлічі W будемо називати подіями тільки підмножини, що задовольняють деякому умові (про це буде сказано пізніше).
Наведемо приклади подій. Нехай впадає гральна кістка, і елементарним результатом вважається що випало число очок: W = (1,2,3,4,5,6). A-подія, що полягає в тому, що випало парне число очок: А = (2,4,6); B-подія, що полягає в тому, що випало число очок, не менше 3-х: B = (3,4,5,6).
Кажуть, що ті результати, з яких складається подія А, сприяють події А.
Події зручно зображати у вигляді малюнка, який називається діаграмою Венна. На малюнку 1 простір елементарних исходов W зображено у вигляді прямокутника, а безліч елементарних фіналів, благоприятствующих події A, укладена в еліпс. Самі результати на діаграмі Венна не зображуються, а інформація про співвідношенні між їх множинами міститься в розташуванні меж відповідних областей.
Сумою (об'єднанням) двох подій А і B (Позначається) називається подія, що складається з всіх елементарних фіналів, що належать принаймні однією з подій А або B. Об'єднання подій А і В зображено на малюнку 2 у вигляді заштрихованої області.
Наведемо приклад об'єднання подій. Нехай два стрілка стріляють у мішень одночасно, і подія А полягає в тому, що в мішень потрапляє 1-й стрілок, а подія B - в тому, що в мішень потрапляє 2-й. Подія означає, що мішень вражена, або, інакше, що в мішень потрапив хоча б один із стрільців.
Твором (Перетином) подій А і B називається подія, складається з усіх тих елементарних фіналів, які належать і А і B. На малюнку 3 перетин подій А і B зображено у вигляді заштрихованої області. В умовах наведеного вище прикладу подія полягає в тому, що в мішень потрапили обидва стрілка.
Різницею А B або А-B подій А і B називається подія, що складається з усіх результатів події А, не благоприятствующих події B. Діаграма Венна різниці подій А і B зображена на малюнку 4.
В умовах розглянутого вище прикладу подія А B полягає в тому, що перший стрілець потрапив в мішень, а другий промахнувся.
Подія W називається достовірним (воно обов'язково відбувається в результаті випадкового експерименту).
Пусте безліч Г† називається неможливим подією. Подія = W A називається протилежним події А або доповненням події А.
Події А і B називаються несумісними, якщо немає результатів, що належать і А і B, то є = Г†. На малюнку 5 зображені несумісні події А і B.
Подія В будемо називати наслідком події А, якщо все наслідки події А сприяють події В. Те, що з А слід В записується символом АГЊВ і зображується на діаграмі Венна так, як це показано на малюнку 6.
Безпосередньо з введених визначень слідують рівності:; A = Г†;;. Два останніх рівності називаються формулами Де'Моргана.
Контрольні питання.
I. В інвестиційному портфелі зібрані акції 5-ти різних корпорацій (5ти видів). Подія А полягає в тому, що акції 1-го виду подорожчали. Подія В полягає в те, що акції всіх 5ти видів подорожчали.
Опишіть події 1) АГ€В; 2) АГ‡В; 3) А В; 4) А (АГ‡В); 5) АГ€
II. На майбутніх виборах губернатором Н-ської області може бути обраний представник партії "лівих", представник партії "правих", представник партії "зелених" або не обрано ніхто. Подія А полягає в тому, що буде обрано представника партії "лівих". Подія В полягає в тому, що буде обрано представника партії "Правих" або представник партії "зелених".
Опишіть події 1) АГ€В; 2) АГ‡В; 3): 4); 5)
III. Інвестор збирається вкласти капітал у звичайні акції. Йому запропоновані на вибір акції корпорацій С1, С2, С3, С4. Інвестор може скласти портфель з акцій всіх чотирьох корпорацій, може вибрати акції однієї, двох або трьох корпорацій і може взагалі відмовитися від запропонованих акцій. Наявність в портфелі тих чи інших акцій визначає результат угоди. Подія А полягає в тому, що в акціонерному портфелі виявляються акції С1, або С2, або і ті й інші. Подія В полягає в тому, що в портфелі немає ні акцій С2, ні акцій С3.
а) Опишіть події 1); 2); 3) АГ€; 4) АГ‡В; 5) А
б) Підрахуйте число фіналів в кожному з наведених вище подій.
Відповіді на контрольні запитання.
1) А; 2) В; 3) акції 1-го виду подорожчали, а якісь з акцій або подешевшали, або залишилися в колишній ціні; 4) А В; 5) W.
1) губернатор буде обрано; 2) Г†; 3) якщо губернатор буде обраний, то він не буде "лівим"; 4) губернатор не буде обраний 5) якщо губернатор буде обраний, то він буде "лівим".
III 1) якщо акції куплені, то серед них не буде ні акцій С1, ні акцій С2. Число исходов - 4. Для вирішення цього завдання зобразимо вибір інвестора у вигляді послідовності з 4-х цифр. Перша цифра - 0, якщо акції С1 не куплені і - 1, якщо акції С1 куплені. Друга цифра - 0, якщо акції С2 не куплені, і т. д. Очевидно, що у інвестора всього 16 можливостей вибору. Подія полягає в тому, що перші дві цифри в такій послідовності - нулі. Кожна з двох останніх цифр може бути нулем або одиницею, отже, можливо 4 результату.
2) акції будуть куплені і серед них будуть або акції С2, або акції С3, або і ті й інші. Число фіналів - 12. Це випливає з того, що в описаній вище послідовності хоча б одна з двох цифр, які займають друге і третє місце, повинна бути одиницею, тобто, можливі наступні комбінації цих цифр: 10, 01, 11. Кожна з цих трьох комбінацій може зустрітися з чотирма можливими комбінаціями нулів і одиниць, що стоять на першому і четвертому місцях.
3) з усіх 16-ти випадків сюди не входять лише два результати, зображувані послідовностями, що починаються з цифр 000. Це означає, що якщо акції будуть куплені, то не може бути ситуації, за якої в портфель не увійдуть ні акції С1, ні акції С2 ні акції С3.
4) акції куплені і можливі тільки два варіанти складу портфеля: тільки акції С1 або акції С1 і С4. Це означає, що послідовність цифр повинна починатися з ...
