Введення
Геометрія виникла дуже давно, це одна з найдавніших наук. Геометрія (грецьке, від ge - земля і metrein - вимірювати) - наука про простір, точніше - наука про формах, розмірах і межах тих частин простору, які в ньому займають речові тіла. Таке класичне визначення геометрії, або, вірніше, таке дійсне значення класичної геометрії. Однак сучасна геометрія в багатьох своїх дисциплінах виходить далеко за межі цього визначення. Розвиток геометрії принесло з собою глибоко йде еволюцію поняття про простір. У тому значенні, в якому простір як математичний термін широко вживається сучасними геометрами, воно. вже не може служити первинним поняттям, на якому спочиває визначення геометрії, а, навпаки, саме знаходить собі визначення в ході розвитку геометричних ідей.
Важливу роль грали й естетичні потреби людей: бажання прикрасити свої житла і одяг, малювати картини навколишнього життя. Все це сприяло формуванню і накопиченню геометричних відомостей. За кілька століть до нашої ери в Вавилоні, Китаї, Єгипті та Греції вже існували початкові геометричні знання, які добувалися в основному досвідченим шляхом, але вони не були ще систематизовані і передавалися від покоління до покоління у вигляді правил і рецептів, наприклад, правил знаходження площ фігур, об'ємів тіл, побудова прямих кутів і т.д. Не було ще доказів цих правил, і їх виклад не являло собою наукової теорії.
Геометрія на Сході
Батьківщиною геометрії вважають зазвичай Вавилон і Єгипет. Грецькі письменники одностайно сходяться па тому, що геометрія виникла в Єгипті і звідти перенесена в Елладу.
Перші кроки культури скрізь, де вона виникала, в Китаї, в Індії, в Ассирії, в Єгипті, були пов'язані з необхідністю вимірювати відстані і ділянки на землі, обсяги та ваги матеріалів, продуктів, товарів; перші значні споруди вимагали нівелювання, витриманою вертикалі, знайомства з планом і перспективою. Необхідність вимірювати проміжки часу вимагала систематичного спостереження над рухом світил, а отже, вимірювання кутів. Все це було нездійсненно без знайомства з елементами геометрії, і у всіх названих країнах основні геометричні уявлення виникали частиною незалежно один від одного, частиною - в порядку спадкоємного передачі. Проте точних відомостей про пізнаннях єгиптян у галузі геометрії ми не маємо. Єдиним першоджерелом, що дійшли до нас, є папірус, написаний при фараоні Payee вченим писарем його Ахмес (Ahmes) в період між 2000 і 1700 р. до нашої ери. Це - керівництво, що містить різного роду математичні задачі і їх рішення; значна більшість завдань відноситься до арифметики, менша частина - до геометрії. З останніх майже всі пов'язані з виміром площ прямолінійних фігур і кола, причому Ахмес приймає площа рівнобедреного трикутника дорівнює твору підстави наполовину бічний боку, а площа кола - рівною площі квадрата, сторона якого менше діаметра на 1/3 його частину (це дає л = 3,160 ...); площа равнобочной трапеції він приймає рівними добутку полусумма паралельних сторін на бічну сторону. Як видно з кількох інших завдань Рінда, єгиптяни в цю пору знали, що кути прямокутного трикутника визначаються ставленням катетів. Як вони прийшли до всіх цих правил, чи знали найбільш освічені жерці - хранителі єгипетської науки, - що їх дані є лише наближеними, про цьому ми не маємо ніяких відомостей. Настільки ж мало знаємо ми про те, що додало до цих пізнань єгиптян наступне тисячоліття; скільки-небудь значних успіхів вони у всякому разі не зробили. Важко сказати цілком точно, що з цих відомостей єгиптяни відкрили самі і що вони запозичили від вавілонян і індусів. Безсумнівно лише те, що геометричні відомості вавилонян були настільки ж уривчасті і настільки ж мізерні. Їм належить поділ окружності на 360о; вони мали відомості про паралельні лінії і точно відтворювали прямі кути; все це було їм необхідно при астрономічних спостереженнях, які, мабуть, головним чином і призвели до їх геометричним знань. Вавилоняни знали, що сторона правильного вписаного в коло шестикутника дорівнює радіусу. Характерним для цього першого, у відомому сенсі доісторичного, періоду геометрії є дві сторони справи: по-перше, встановлення найбільш елементарного геометричного матеріалу, прямо необхідного в практичній роботі, а по-друге, запозичення цього матеріалу із природи шляхом безпосереднього спостереження (В«почуттєвого сприйняттяВ», за словами Евдема Родосського). Найбільш характерний вираз цього безпосереднього апелювання до інтуїції як єдиному засвідченню правильності висловленої істини ми знаходимо у індуського математика Ганеши.
2. Грецька геометрія
Грецькі автори відносять появу геометрії в Греції до кінця VII ст. до н. е.. і пов'язують його з ім'ям Фалеса Мілетського (639-548), вся наукова діяльність якого зображується греками в напівміфічному світлі, так що точно її відновити неможливо. Достовірно, мабуть, те, що Фалес в молодості багато подорожував по Єгипту, мав спілкування з єгипетськими жерцями і в них навчився многому, в тому числі геометрії. Повернувшись на батьківщину, Фалес оселився в Мілеті, присвятивши себе заняттям наукою, і оточив себе учнями, образовавшими так звану іонійської школи. Фалесу приписують відкриття низки основних геометричних теорем (наприклад, теорем про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника, рівність вертикальних кутів і т. п.). Важливіше, мабуть, інше. Важко допустити, щоб наука, "хоча б у зародковому своєму стані, була перенесена на треческую грунт одним чол Овеков. Важіо те, що в Елладі в інших умовах економічних відносин і соціального життя утворився клас, для того часу безсумнівно прогресивний, не тільки засвоїв східну культуру, але й розвинув її до невпізнанною висоти, створив, таким чином, вже свою високу еллінську культуру. В умовах швидко розвивалася архітектури, мореплавання, цивільної і військової техніки, в умовах розгортається вже у зв'язку з цим досліджень в області астрономії, фізики, механіки, що вимагали точних вимірювань, не тільки дуже скоро виявилися протиріччя і неправильності єгипетської геометрії, але і в виправленому вигляді її убогий матеріал перестав задовольняти зрослим потребам. Елементарні прийоми безпосереднього спостереження східної геометрії були безсилі перед новими завданнями. Щоб їх вирішити, було необхідно відірвати геометрію від безпосередніх завдань виміру полів і будівлі пірамід, - завдань, вузьких при всій їх важливості, - і поставити їй незмірно більш широкі завдання. Цій тенденції і було покладено початок Фалесом. Ионийская школа перенесла геометрію в область набагато більш широких уявлень і завдань, надала їй теоретичний характер і зробила її предметом тонкого дослідження, в якому разом з інтуїцією починає грати видну роль і абстрактна логіка. Абстрактно-логічний характер геометрії, який у Іонійської школі тільки намічався, затягнувся, правда, дещо містичним флером у піфагорійців, прийняв у Платона і Аристотеля більш здорові форми і в Олександрійській школі знайшов своє завершення. Була створена наука, широка по задумом, багата фактичним матеріалом і, незважаючи на свій абстрактний характер, що дає ряд надзвичайно важливих практичних застосувань. Більше того, можна сказати, що саме в абстрактній структурі, яку отримала геометрія в працях грецьких учених з VI по III в. до н. е.., і корениться можливість її багатоманітного конкретного використання.
Самое слово В«геометріяВ» недовго зберігає своє первинне значення - вимірювання землі. Вже Аристотель ввів для такого виміру новий термін - геодезія. Однак і зміст цієї нової дисципліни скоро теж стали розуміти в більш широкому сенсі, який може бути найкраще передається сучасним терміном В«Метрична геометріяВ». У працях Фалеса, Піфагора, Платона, Демокріта, Гіпократа, Дінострата, Никомеда, Аристотеля, якщо назвати лише найважливіших, з надзвичайною швидкістю виробляються встановлення та систематизація фактичного матеріалу класичної геометрії. Потрі...
