Курсова робота з дисципліни: В«Системний аналізВ»
Виконавець студент гр. 99 ІСЕ-2 Жбанів В.В.
Оренбурзький державний університет
Факультет інформаційних технологій
Кафедра прикладної інформатики
р. Оренбург-2003
Введення
Мета роботи: познайомиться з таким статистичним методом, як дисперсійний аналіз.
Дисперсійний аналіз (від латинського Dispersio - розсіювання) - статистичний метод, дозволяє аналізувати вплив різних факторів на досліджувану змінну. Метод був розроблений біологом Р. Фішером в 1925 році і застосовувався спочатку для оцінки експериментів в рослинництві. Надалі з'ясувалася загальнонаукова значимість дисперсійного аналізу для експериментів в психології, педагогіці, медицині та ін
Метою дисперсійного аналізу є перевірка значущості відмінності між середніми з допомогою порівняння дисперсій. Дисперсію вимірюваного ознаки розкладають на незалежні доданки, кожне з яких характеризує вплив того чи іншого фактора або їх взаємодії. Наступне порівняння таких доданків дозволяє оцінити значимість кожного досліджуваного фактора, а також їх комбінації/1 /.
При істинності нульової гіпотези (про рівність середніх в декількох групах спостережень, обраних з генеральної сукупності), оцінка дисперсії, пов'язаної з внутрішньогрупової мінливістю, повинна бути близькою до оцінки міжгруповий дисперсії.
При проведенні дослідження ринку часто постає питання про порівнянності результатів. Наприклад, проводячи опитування з приводу споживання якогось товару в різних регіонах країни, необхідно зробити висновки, на скільки дані опитування відрізняються або не відрізняються один від одного. Зіставляти окремі показники не має сенсу і тому процедура порівняння і наступної оцінки проводиться за деякими усереднених значеннях і відхиленням від цієї усередненої оцінки. Вивчається варіація ознаки. За міру варіації може бути прийнята дисперсія. Дисперсія Пѓ 2 - міра варіації, обумовлена ​​як середня з відхилень ознаки, зведених в квадрат.
На практиці часто виникають задачі більш загального характеру - завдання перевірки істотності відмінностей середніх вибіркових декількох сукупностей. Наприклад, потрібно оцінити вплив різної сировини на якість виробленої продукції, вирішити задачу про вплив кількості добрив на врожайність с/г продукції.
Іноді дисперсійний аналіз застосовується, щоб встановити однорідність декількох сукупностей (дисперсії цих сукупностей однакові за припущенням; якщо дисперсійний аналіз покаже, що і математичні сподівання однакові, то в цьому сенсі сукупності однорідні). Однорідні ж сукупності можна об'єднати в одну і тим самим отримати про неї більш повну інформацію, отже, і більш надійні висновки/2 /.
1 Дисперсійний аналіз
1.1 Основні поняття дисперсійного аналізу
В процесі спостереження за досліджуваним об'єктом якісні фактори довільно або заданим образом змінюються. Конкретна реалізація фактора (наприклад, певний температурний режим, вбрання обладнання або матеріал) називається рівнем фактора або способом обробки . Модель дисперсійного аналізу з фіксованими рівнями факторів називають моделлю I , модель з випадковими факторами - моделлю II . Завдяки варіюванню фактора можна дослідити його вплив на величину відгуку. В даний час загальна теорія дисперсійного аналізу розроблена для моделей I.
В залежності від кількості факторів, що визначають варіацію результативної ознаки, дисперсійний аналіз підрозділяють на однофакторний і багатофакторний.
Основними схемами організації вихідних даних з двома і більше факторами є:
- перехресна класифікація , характерна для моделей I, в яких кожен рівень одного фактора поєднується при плануванні експерименту з кожної градацією іншого фактора;
- ієрархічна (гніздова) класифікація , характерна для моделі II, в якій кожному випадковому, навмання обраному значенню одного фактора відповідає своє підмножина значень другого фактора.
Якщо одночасно досліджується залежність відгуку від якісних і кількісних факторів, тобто факторів змішаної природи , то використовується коваріаційний аналіз /3 /.
При обробці даних експерименту найбільш розробленими і тому поширеними вважаються дві моделі. Їх відмінність обумовлена ​​специфікою планування самого експерименту. У моделі дисперсійного аналізу з фіксованими ефектами дослідник навмисно встановлює строго певні рівні досліджуваного фактора. Термін В«фіксований ефектВ» у даному контексті має той сенс, що самим дослідником фіксується кількість рівнів фактора і відмінності між ними. При повторенні експерименту він або інший дослідник вибере ті ж самі рівні фактора. У моделі з випадковими ефектами рівні значення фактора вибираються дослідником випадково з широкого діапазону значень фактора, і при повторних експериментах, природно, цей діапазон буде іншим.
Таким чином, дані моделі відрізняються між собою способом вибору рівнів фактора, що, очевидно, в першу чергу впливає на можливість узагальнення отриманих експериментальних результатів. Для дисперсійного аналізу однофакторних експериментів відмінність цих двох моделей не настільки істотно, проте в багатофакторному дисперсійному аналізі воно може виявитися вельми важливим.
При проведенні дисперсійного аналізу повинні виконуватися наступні статистичні допущення: незалежно від рівня фактора величини відгуку мають нормальний (гаусівських) закон розподілу та однакову дисперсію. Така рівність дисперсій називається гомогенністю. Таким чином, зміна способу обробки позначається лише на положенні випадкової величини відгуку, який характеризується середнім значенням або медіаною. Тому всі спостереження відгуку належать сдвигового сімейству нормальних розподілів .
Кажуть, що техніка дисперсійного аналізу є "робастної". Цей термін, використовуваний статистиками, означає, що дані припущення можуть бути в деякій ступеня порушені, але незважаючи на це, техніку можна використовувати.
При невідомому законі розподілу величин відгуку використовують непараметричні (найчастіше рангові) методи аналізу.
В основі дисперсійного аналізу лежить поділ дисперсії на частини або компоненти. Варіацію, зумовлену впливом фактора, покладеного в основу угруповання, характеризує міжгрупова дисперсія Пѓ 2 . Вона є мірою варіації приватних середніх по групах навколо загальної середньої та визначається за формулою:
,
де k - число груп;
n j - число одиниць в j-ої групи;
- приватна середня по j-ої групи;
- загальна середня за сукупності одиниць.
Варіацію, обумовлену впливом інших факторів, характеризує в кожній групі внутригрупповая дисперсія Пѓ j 2 .
.
Між загальної дисперсією Пѓ 0 2 , внутрішньогрупової дисперсією Пѓ 2 і міжгруповий дисперсією існує співвідношення:
Пѓ 0 2 = + ОЈ 2 .
внутрішньогрупових дисперсія пояснює вплив неврахованих при угрупованні факторів, а межгрупповая дисперсія пояснює вплив факторів угруповання на середнє значення по групі/2 /.
1.2 Однофакторний дисперсійний аналіз
Однофакторна дисперсійна модель має вигляд:
x ij = Ој + F j + Оµ ij , ( 1)
де х ij - значення досліджуваної зміною, отриманої на i-му рівні фактора (i = 1,2, ..., т) c j-м порядковим номером (j = 1,2 , ..., n);
F i - ефект, обумовлений впливом i-го рівня фактора;
