Зміст.
1. Введення ...................................................... 3
2. Історична довідка ...................................... 4
3. Екстремуми функцій однієї змінної.
3.1. Необхідна умова ................................. 6
3.2.1. Достатня умова. Перша ознака ......... 8
3.2.2. Достатня умова. Друга ознака .......... 10
3.3. Використання вищих похідних ............. 12
4. Екстремуми функцій трьох змінних.
4.1. Необхідна умова ................................. 13
4.2. Достатня умова .................................. 14
5. Екстремуми функцій багатьох змінних.
5.1. Необхідна умова ................................. 19
5.2. Достатня умова .................................. 21
5.3. Метод обчислення критеріїв Сильвестер ...... 24
5.4. Зауваження про екстремуму на множинах ....... 33
6. Умовний екстремум.
6.1. Постановка питання ................................... 35
6.2. Поняття умовного екстремуму ..................... 36
6.3. Метод множників Лагранжа для знаходження точок умовного екстремуму ......................................... 38
6.4. Стаціонарні точки функції Лагранжа ......... 42
6.5. Достатня умова .................................. 49
7. Висновок ................................................... 54
8. Бібліографія ................................................. 55
Мета даного діпломномного проекту полягає в розгляді екстремумів функції однієї та багатьох змінних і докладному описі методів їх знаходження.
Завдання полягає у формулюванні необхідних і достатніх умов існування максимуму і мінімуму функції, виборі методу знаходження екстремумів і їх повному математичному обгрунтуванні.
Гіпотезою дипломного проекту є розгляд та опис екстремумів функції трьох змінних, формулюванні необхідного і достатнього умови їх існування, а також розгляд методу обчислення критеріїв Сильвестер.
В Як об'єкт для дослідження і опису використовувалися функції однієї та багатьох змінних.
1. Введення.
В світі НЕ відбувається нічого, в чому б не був видний
Сенс якого-небудь максимуму або мінімуму.
Л. Ейлера.
В математиці вивчення задач на знаходження максимуму і мінімуму почалося дуже давно. Але тільки лише в епоху формування математичного аналізу були створені перші методи рішення й дослідження задач на екстремум.
Потреби практичному житті, особливо в галузі економіки і техніки, в останній час висунули такі нові завдання, які старими методами вирішити не вдавалося. Треба було йти далі.
Потреби техніки, зокрема космічної, висунули серію задач, які також не піддавалися засобам варіаційного числення. Необхідність вирішувати їх привела до створення нової теорії, що отримала назву теорії оптимального управління. Основний метод в теорії оптимально керування був розроблений в п'ятдесяті - шістдесяті роки радянськими математиками - Л.С. Понтрягіна та його учнями. Це призвело до того, що теорія екстремальних задач одержала новий потужний поштовх до подальших досліджень.
Мета дипломного проекту - розгляд та опис функцій однієї та багатьох змінних, а також у розгляді методів, використовуваних при цьому.
Даний дипломний проект розрахований на абітурієнтів вищих навчальних закладів. На запитання - Чи можна ввести розгляд цієї теми в старших класах школи - відповідь буде дан в останній главі дипломного проекту, після розгляду задач і можливих методів їх вирішення.
В дипломному проекті з більшою логічною стрункістю і без повторень наведено виклад теми - функції однієї та багатьох змінних, повідомлені відомості з математичного аналізу, необхідні при вивченні фізики та ряду інженерних дисциплін.
2.ІСТОРІЧЕСКІЕ довідка.
У житті постійно доводиться стикатися з необхідністю прийняти найкраще можливе (іноді говорять - оптимальне) рішення. Величезне число подібних проблем виникає в економіці і техніці. При цьому часто трапляється так, що корисно вдатися до математики.
В математиці дослідження задач на максимум і мінімум почалося дуже давно - двадцять п'ять століть назад, Довгий час до завдань на відшукання екстремумів НЕ було скільки - небудь єдиних підходів. Але приблизно триста років тому - в епоху формування математичного аналізу - були створені перші загальні методи вирішення і дослідження задач на екстремум.
Накопичення методів диференціального обчислення прийняло найбільш явну форму у Ферма. В 1638 він повідомив у листі Декарту, що вирішив завдання визначення екстремальних значень функції f (x). Ферма становив рівняння (F (x + h)-f (x))/h = 0 і після перетворень в лівій частині думав h = 0, всупереч думці пізніших дослідників, які бачили в цій ідеї числення нескінченно малих. В дійсності, Ферма знайшов цю умову й аналогічне (F (y)-f (x))/(y-x) = 0 при y = x ще алгебраїчними шляхами.
Міркування при знаходженні екстремуму функції f (x) наступні. Нехай для деякого x функція досягає максимуму. Тоді f (x h) 2 ...
До жаль, Ферма не прагнув публікувати свої роботи, крім того, користувався важкодоступними для засвоєння алгебраїчними засобами Вієта з його громіздкою символікою. Мабуть, тому він не зробив останнього, вже невеликого, кроку на шляху до створення диференціального обчислення.
Накопичення фактів диференціального числення відбувалося швидко. У В«Диференціальному обчисленні В»(1755) Ейлера це числення з'являється вже в досить повному вигляді.
Правила визначення екстремумів функції однієї змінної y = f (x) були дані Маклореном. Ейлер розробив це питання для функції двох змінних. Лагранж показав (1789), як відрізняти вид умовного екстремуму для функції багатьох змінних.
В XVIII столітті виникло числення варіацій. У працях Ейлера і Лагранжа воно придбало вид логічно стрункої математичної теорії. Головним завданням, розв'язуваної засобами цього обчислення, є відшукання екстремумів функціоналів.
3.Екстремуми функцій однієї змінної.
3.1.Необходімое умова.
Нехай функція f (x), визначена і безперервна в проміжку [A, b], не є в ньому монотонної. Знайдуться такі частини [,] Проміжку [a, b], в яких найбільше і найменше значення досягається функцією у внутрішній точці, тобто між і.
Кажуть, що функція f (x) має в точці максимум (або мінімум), якщо цю точку можна оточити такою околицею (x 0 -, x 0 + ), Що міститься в проміжку, де задана функція, що для всіх її точок виконується нерівність.
f (x) 0 ) (або f (x)> f (x 0 ))
Іншими словами, крапка x 0 доставляє функції f (x) максимум (Мінімум), якщо значення f (x 0 ) виявляється найбільшим (найменшим) зі значень, прийнятих функцією в деякої (хоча б малої) околиці цієї крапки. Відзначимо, що найбільше визначення максимуму (мінімуму) припускає, що функція задана по обидві сторони від точки x 0 .
Якщо існує така околиця, в межах якої (при x = x 0 ) виконується суворе нерівність
f (x) 0 ) (або f (x)> f (x 0 )
то кажуть, що функція має в точці x 0 власний максимум (мінімум), в іншому випадку - невласний.
Якщо функція має максимуми в точках x 0 і x 1 , То, застосовуючи до проміжку [x 0 , x 1 ] другу теорему Вейєрштрасса,...
