Комбінаторні завдання.
1.Сколько способами колода в 52 карти може бути роздана 13-ти гравцям так, щоб кожен гравець отримав по одній карті кожній масті? L
2. Скількома способами можна розставити 10 книг на полиці так, щоб дві певні книги не стояли поруч? Щоб три, чотири певні книги не стояли поруч?
3. Скількома різними способами можна розсадити за круглим столом 10 гостей? Один спосіб відрізняється від іншого, якщо у когось з гостей змінюється хоча б один сусід.
4. Мається п'ять шматків матерії різних квітів. Скільки різних прапорів можна скроїти з цих шматків, якщо кожен прапор складається з трьох горизонтальних смуг різного кольору?
5. Кожна з n різних комерційних організацій має намір прийняти на роботу одного з n випускників комерційного відділення факультету МЕВ. У кожній з цих організацій випускнику пропонується на вибір одна з k посад. Скільки існує варіантів розподілу цих n випускників на роботу?
5. Скільки можна скласти різних семизначних телефонних номерів? Скільки буде номерів, у яких все цифри різні?
6. Кожен учасник лотереї "6 із 49 "повинен записати в спеціальній картці 6 будь-яких чисел від 1 до 49. При розіграші лотереї комісія випадковим чином відбирає 6 чисел із чисел 1,2, п‚ј, 49. Учасник, правильно вгадав усі 6 чисел, отримує великий приз. Учасник, який вгадав лише 5 чисел, отримує малий приз. Учасник, вгадав лише 4 числа, отримує заохочувальний приз. Скількома різними способами можна заповнити картку, щоб отримати малий приз? Щоб отримати заохочувальний приз?
7. В одного людини є 7 книг, а в іншого - 9 книг. Скількома способами вони можуть обміняти три книги одного на три книги іншого?
8. Бригада будівельників складається з 16-ти штукатурів і 4-х малярів. Скількома способами бригаду можна розділити на дві бригади, щоб в одній з них було 10 штукатурів і 2 маляра, а в інший 6 штукатурів і 2 маляра?
9. З загону солдатів в 50 чоловік, серед яких є два рядових-однофамільця Іванови, призначають в караул 4-х чоловік. Скількома різними способами може бути складений караул? У скількох випадках в караулі будуть два Іванових? У скількох випадках в караулі буде один Іванов? Хоча б один Іванов?
10. Скількома способами можна розкласти 10 книг на 5 бандеролей по дві книги в кожній (порядок бандеролей не приймається до уваги)?
11. У Діда Мороза в мішку 10 різних подарунків. Скількома спосо-бами ці подарунки можуть бути роздані 7-ми дітям? Вирішити ту ж задачу у припущенні, що всі подарунки однакові.
12. Скількома способами можна розкласти 6 однакових куль по трьом ящикам, якщо кожен ящик може вмістити всі кулі?
13. В поштовому відділенні продаються листівки 10 сортів. Скількома способами можна купити в ньому 12 листівок?
14. Потрібно провести 4 іспити за різними дисциплін протягом
20-ти днів. Скільки існує варіантів розкладу іспитів, якщо тимчасової проміжок між іспитами повинен бути не менше 3-х днів? (4!)
6
Класичне визначення ймовірності.
1. Колода з 32-х карт ретельно перетасувати. Знайти ймовірність того, що всі чотири тузи лежать в колоді один за іншим, НЕ перемежаючись іншими картами.
Рішення . Число всіх можливих способів розташування карт в колоді одно 32! Щоб підрахувати число сприятливих исходов, спочатку представимо собі, що чотири туза розташовуються якимось чином один за іншим і склеюються між собою так, що вони, як би складають одну карту (Неважливо, що вона виявилася товще, ніж всі інші). В отриманої колоді стало 32 - 4 + 1 = 29 карт. Карти в цій колоді можна розташувати числом способів, рівним 29! Кількість всіх благо-приємних исходов виходить, якщо це число помножити на 4! - Число можливих способів упорядкування чотирьох тузів. Звідси отримуємо відповідь задачі: .
2. Між двома гравцями проводиться n партій, причому кожна партія кінчається або виграшем, або програшем, і всілякі результати партій рівноймовірно. Знайти ймовірність того, що певний гравець виграє рівно m партій, 0 п‚Ј m п‚Ј n .
Рішення . Кожна партія має два результати - Виграш одного або іншого учасника. Для двох партій є 2 2 = 4 исходов, для трьох партій - 2 3 = 8 исходов, для n партій - 2 n исходов. Серед них рівно исходов відповідають виграшу одного з гравців m партій. Таким чином, шукана ймовірність дорівнює .
3. Впадає n гральних кісток. Знайти ймовірність того, що на всіх кістках випало однакове кількість очок.
Рішення . Загальне число исходов тут дорівнює 6 n . Число сприятливих исходов - 6. Відповідь завдання: .
4. В урні a білих і b чорних куль ( a п‚і 2; b п‚і 2). З урни без повернення витягуються 2 кулі. Знайти ймовірність того, що кулі одного кольору.
Рішення . Ця ймовірність дорівнює
5. В урні знаходяться a білих і b чорних куль. Кулі без повернення витягуються з урни. Знайти ймовірність того, що k -й вийнятий куля виявився білим.
Рішення . Уявімо процес випадкового витягу куль з урни наступним чином: кулі довільним чином розміщені по розташованим в ряд осередкам, і витягуються з осередків один за іншим зліва направо. Тоді сприятливий результат наступає в тому випадку, коли в k -й осередку лежить біла куля.
Всього можливо ( a + B )! різних способів розташування куль по осередках. Займемо k -ю осередок одним з білих куль, що можна зробити a різними способами. Тоді решта комірки можна заповнити ( a + B - 1)! способами, і виходить, що число сприятливих исходов одно ( A + B - 1)! A , а шукана ймовірність - .
6. Знайти ймовірність того, що при розміщенні n помітних куль по N ящикам заданий ящик буде містити рівно k (0 п‚Ј k п‚Ј n ) куль (всі помітні розміщення рівноймовірно).
Рішення . Перша куля може бути розміщений N різними способами, друга куля - теж N різними способами, а дві кулі можуть бути розміщені по N ящикам числом способів, рівним N 2 . Всього існує N n варіантів розміщення n помітних куль по N скринькам. Вибравши певний ящик, можна знайти способів заповнити його набором k куль, обраних з безлічі n куль. Решта ящиків можна заповнити оставшимися n - k кулями числом способів, рівним ( N- 1) n-k . Таким чином отримуємо, що число сприятливих исходов в задачі одно ( N- 1) n-k , а цікавить нас ймовірність дорівнює .
7. 10 букв розрізної азбуки: А, А, А, Е, І, К, М, М, Т, Т довільним чином викладаються в ряд. Яка ймовірність того, що вийде слово МАТЕМАТИКА?
Рішення . 10 літер можна розташувати в ряд числом способів, рівним 10! Щоб отримати число сприятливих исходов, потрібно взяти слово МАТЕМАТИКА і переконатися в тому, що його можна отримати, переставляючи місцями 3 букви А, 2 букви М і 2 букви Т, що можна зробити 3! 2! 2! способами Відповідь задачі: 3! 2! 2!/10!.
8. Кинуто 10 гральних кісток. Передбачається, що всі комбінації випавших очок рівноймовірно. Знайти ймовірність того, що випала хоча б одна "6".
Рішення . Загальне число исходов тут дорівнює 6 10 . До сприятливих исходам слід віднести випадання однієї, двох, трьох і т. д. шісток. Прос...
