Зміст
Введення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава I. ПРАВИЛЬНІ ПРИКІНЦЕВІ ЛАНЦЮГОВІ Дріб
В§ 1 . Подання раціональних чисел ланцюговими дробами
В§ 2. Відповідні дробу. Їх властивості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Глава II. Нескінченно Ланцюгові дроби
В§ 1 . Подання дійсних ірраціональних чисел правильними нескінченними ланцюговими дробами
1.1. Розкладання дійсного ірраціонального числа в правильну нескінченну ланцюгову дріб . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Збіжність правильних нескінченних ланцюгових дробів . . . . .
1.3. Єдиність представлення дійсного ірраціонального числа правильної нескінченної ланцюгової дробом
В§ 2. Наближення дійсного числа раціональними дробами із заданим обмеженням для знаменника
2.1. Оцінка похибки при заміні дійсного числа його підходящої дробом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Наближення дійсного числа підходящими дробами
2.3. Теорема Діріхле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Відповідні дробу як найкращі наближення
В§ 3. Квадратичні ірраціональності і періодичні ланцюгові дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
В§ 4. Подання дійсних чисел ланцюговими дробами загального виду. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Рішення задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Висновок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Використовувана література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Введення
Метою моєї курсової роботи є дослідження теорії ланцюгових дробів. В ній я спробую розкрити властивості підходящих дробів, особливості розкладання дійсних чисел в неправильні дробу, похибки, які виникають в результаті цього розкладання, і застосування теорії ланцюгових дробів для вирішення низки алгебраїчних задач.
Ланцюгові дробу були введені в 1572 році італійським математиком Бомбелли. Сучасне позначення безперервних дробів зустрічається у італійського математика Катальді в 1613 році. Найвеличніший математик XVIII століття Леонардо Ейлер перший викласти теорію ланцюгових дробів, поставив питання про їх використанні для вирішення диференціальних рівнянь, застосував їх до розкладання функцій, поданням нескінченних творів, дав важливе їх узагальнення.
Роботи Ейлера з теорії ланцюгових дробів були продовжені М. Софронова (1729-1760), академіком В.М. Висковатого (1779-1819), Д. Бернуллі (1700-1782) та ін Багато важливі результати цієї теорії належать французькому математику Лагранжа, який знайшов метод наближеного рішення за допомогою ланцюгових дробів диференціальних рівнянь.
Глава I. Правильні кінцеві ланцюгові дробу.
В§ 1. Подання раціональних чисел ланцюговими дробами.
Ціле число, що є дільником кожного з цілих чисел , називається спільним дільником цих чисел. Спільний дільник цих чисел називається їх найбільшим спільним дільником, якщо він ділиться на всякий загальний дільник даних чисел.
Нехай - Раціональне число, причому b > 0. Застосовуючи до a та b алгоритм Евкліда для визначення їх найбільшого загального дільника, отримуємо кінцеву систему рівностей:
де неповним приватним послідовних ділень відповідають залишки з умовою b>>> ...>> 0, а відповідає залишок 0.
Системі рівностей (1) відповідає рівносильна система
з якої послідовної заміною кожної з дробів і т.д. її відповідним виразом з наступною рядки виходить уявлення дробу у вигляді:
Таке вираз називається правильної (Кінцевої) ланцюговий або правильної безперервної дробом, при цьому передбачається, що - Ціле число, а , ..., - Натуральні числа.
Маються різні форми записи ланцюгових дробів:
Згідно останньому позначенню маємо
Числа , , ..., називаються елементами ланцюгового дробу.
Алгоритм Евкліда дає можливість знайти уявлення (Або розкладання) будь-якого раціонального числа у вигляді ланцюгового дробу. В якості елементів ланцюгового дробу виходять неповні приватні послідовних ділень в системі рівностей (1), тому елементи ланцюгової дробу називаються також неповними приватними. Крім того, рівності системи (2) показують, що процес розкладання в ланцюгову дріб полягає в послідовному виділення цілої частини та перевертиванія дробової частини.
Остання точка зору є більш загальною в порівнянні з першої, так як вона застосовна до розкладання в безперервну дріб не тільки раціонального, але і будь-якого дійсного числа.
Розкладання раціонального числа має, очевидно, кінцеве число елементів, так як алгоритм Евкліда послідовного ділення a на b є кінцевим.
Зрозуміло, що кожна ланцюгова дріб являє певне раціональне число, тобто дорівнює визначеному раціональному числу. Але виникає питання, не є Чи різні представлення одного і того ж раціонального числа ланцюгової дробом? Виявляється, що не є, якщо зажадати, щоб було .
Теорема . Існує одна і тільки одна кінцівка ланцюгова дріб, рівна даним раціональному числу, але при умови, що .
Доказ: 1) Зауважимо, що при відмові від зазначеного умови єдиність представлення відпадає. В Насправді, при :
так що уявлення можна подовжити:
наприклад, (2, 3, 1, 4, 2) = (2, 3, 1, 4, 1, 1).
2) Приймаючи умову , можна стверджувати, що ціла частина ланцюгового дробу дорівнює її першому неповного приватному . Справді:
якщо n = 1, то
якщо n = 2, то ; тому
якщо n> 2, то
=
,
де> 1, тому
Тому і тут . Доведемо те, що раціональне число однозначно представляється ланцюгової дробом , якщо .
Нехай з умовою , . Тоді , так що . Повторним порівнянням цілих частин отримуємо , а отже і так далі. Якщо , то в продовженні зазначеного процесу отримаємо також . Якщо ж , наприклад , то отримаємо , що неможливо.
Теорема доведена.
Разом з тим ми встановили, що при дотриманні умови між раціональними числами і кінцевими ланцюговими дробами існує взаємно однозначне відповідність.
Зауваження:
В випадку розкладання правильної позитивної дробу перша елемент , наприклад, .
При розкладанні негативною дробу (негативний знак дробу завжди відноситься до чисельника) перший елемент буде негативним, інші позитивними, так як ціла ча...
