Етьєн Безу -
французький математик, член Паризької Академії Наук (з 1758 року), народився в Немур 31 березня 1730 і помер 27 вересня 1783 року.
З 1763 року Безу викладав математику в училище гардемаринів, а з 1768 року і в королівському артилерійському корпусі.
Основні роботи Етьєна Безу ставляться до вищої алгебрі, вони присвячені створенню теорії рішення алгебраїчних рівнянь. У теорії розв'язання систем лінійних рівнянь він сприяв виникненню теорії визначників, розвивав теорію виключення невідомих з систем рівнянь вищих ступенів, довів теорему (Вперше сформульовану К. Маклореном) про те, що дві криві порядку m і n перетинаються не більш ніж в mn точках. У Франції та за її кордоном аж до 1848 року був дуже популярний його шеститомний "Курс математики", написаний ним в 1764-69 роках. Безу розвинув метод невизначених множників, в елементарної алгебри його ім'ям названий спосіб рішення систем рівнянь, заснований на цьому методі. Частина праць Безу присвячена зовнішній балістиці. Іменем вченого названо одну з основних теорем алгебри.
Теорема Безу.
Залишок від ділення полінома P n ( x )
на двочлен ( x - a ) дорівнює значенню
цього полінома при x = a .
Нехай:
P n ( x ) - даний багаточлен ступеня n ,
двочлен ( x - a ) - його дільник,
Q n -1 ( x ) - приватне від ділення P n ( x ) на x - a (Багаточлен ступеня n-1),
R - залишок від ділення ( R не містить перемінної x як дільник першого ступеня щодо x ).
Доказ :
Згідно з правилом ділення многочленів із залишком можна записати:
P n (x) = (xa) Q n-1 (x) + R .
Звідси при x = a :
P n (a) = (aa) Q n-1 (a) + R = 0 * Q n-1 (a) + R =
= 0 + R = R .
Значить , R = P n ( a ) , тобто залишок від ділення полінома на ( x - a ) дорівнює значенню цього
полінома при x = a , що й потрібно було довести.
Наслідки з теореми .
З ледствіі 1 :
Залишок від ділення полінома P n ( x )
на двочлен ax + < b> b дорівнює значенню
цього полінома при x = - b / a < i>,
т . е . R = P n (-b/a).
Доказ:
Згідно з правилом ділення многочленів:
P n (x) = (ax + b) * Q n-1 (x) + R .
При x =-b/a:
Pn (-b/a) = (a (-b/a) + b) Qn-1 (-b/a) + R = R. Значить, R = Pn (-b/a), що й потрібно було довести.
Наслідок 2 :
Якщо число a є коренем
многочлена P ( x ), то цей
многочлен ділиться на ( x - a ) без
залишку.
Доказ:
По теоремі Безу залишок від ділення многочлена P ( x ) на x - a дорівнює P ( a ) , а по умові a є коренем P ( x ) , а це означає, що P ( a ) = 0 , що й потрібно було довести .
З даного слідства теореми Безу видно, що задача рішення рівняння P ( x ) = 0 рівносильна завданню виділення делителей многочлена P , мають першу ступінь ( лінійних дільників).
Наслідок 3 :
Якщо многочлен P ( x ) має
попарно різні корені
a 1 , a 2 , ..., a n , то він ділиться на
твір ( x - < b> a 1 ) ... ( x - a n )
без залишку .
Доказ:
Проведемо доказ з допомогою математичної індукції по числу коренів. При n = 1 твердження доведено в слідстві 2. Нехай воно вже доведено для випадку, коли число коренів одно k , це означає, що P (x) ділиться без залишку на ( x - a 1 ) ( x - a 2 ) ... ( x - a k ) , де
a 1 , a 2 , ..., A k - його коріння.
Нехай P ( x ) має k +1 попарно різних коренів. За припущенням індукції a 1 , a 2 , a k , ..., a k +1 є корінням многочлена, а, значить, многочлен ділиться на проізеденіе ( x - a 1 ) ... ( x - a k ) , звідки виходить, що
P (x) = (xa 1 ) ... (xa k ) Q (x).
При цьому a k +1 - корінь многочлена P ( x ) , т. е . P ( a k +1 ) = 0.
Значить , Підставляючи замість x a k +1 , отримуємо правильне рівність:
P (a k +1 ) = (a k +1 -a 1 ) ... (a k +1 -a k < i>) Q (a k +1 ) =
= 0 .
Але a k +1 відмінно від чисел a 1 , ..., a k , і тому жодне з чисел a k +1 - a 1 , ..., a k +1 - a k ...
