Реферат Рішення задач за допомогою ортогонального проектування

-->> 4.5. Кут між прямою і площиною. 29

4.6. Кут між площинами. 30

4.7. Двогранний і багатогранний кути. 32

Висновок. 35

Список літератури. 36

Введення.

Обрана для реферату тема «гшення завдань із допомогою ортогонального проектуванняВ» актуальна для багатьох випускників та вступників до вищих навчальних закладів.

Незважаючи на те, що в методичних рекомендаціях щодо вирішення екзаменаційних завдань з геометрії говориться, що для них не потрібно складних міркувань, перетворень і дотепності, але часто набутих навичок у школі не вистачає для вирішення завдань на побудову та обчислювальних задач. Багато з них на сьогоднішній день повністю відсутні або рідко зустрічаються в підручниках. Це стосується в першу чергу до завдань на застосування ортогонального проектування.

Розглянутий у цьому рефераті матеріал дозволяє отримати більш глибокі знання з стереометрії, широке розуміння поставленого питання. Особливу увагу приділено повноті міркування, в якому застосовувалися базові знання нарисної геометрії. При вирішенні завдань активно використовувався апарат ортогонального проектування. Це здійснюється застосуванням обчислювального способу і способу виносних креслень. У рефераті також присутній і координатний спосіб вирішення. Акцентується увага на вирішенні завдань з побудови прямої, зображень фігур, обчисленню відстаней і кутів.

Глава I. Основні поняття ортогональної проекції. Комплексні креслення.

1.1. Метод паралельного проектування.

Дана площину О± і пряма l, задающая напрям проектування. Задамо фігуру, яку треба спроектувати (відрізок AB). Через точки А і В проведемо прямі, паралельні l і перетинають площину О± в точках A ', B'. Відрізок A ' B '- проекція АВ на площину О± (рис.1). Позначається A 'B' = пр О± AB.

Властивості паралельної проекції.

1) Проекцією точки є точка.

2) Проекцією прямої є пряма - властивість прямолінійності.

3) Проекцією точки, що лежить на деякій прямій, є точка, що на проекції даної прямий - властивість приналежності.

4) Проекціями паралельних прямих є паралельні прямі - властивість збереження паралельності.

5) Ставлення проекцій відрізків, лежачих на паралельних прямих або на одній і тій же прямій, дорівнює відношенню самих відрізків.

6) Проекція фігури не змінюється при паралельному перенесенні площини проекцій.

1.2. Ортогональна проекція.

ортогонального проектування є окремим випадком паралельного проектування, коли напрям проектування S перпендикулярно площині проекції П '.

У цьому випадку неважко встановити співвідношення між довжиною натурального відрізка і довжиною його проекції. Якщо відрізок AB утворює з площиною проекцій кут О±, то, провівши AB * в•‘ A 'B' (рис.2), отримаємо з прямокутного трикутника AB * B, що AB * = AB cos О± або A 'B' = AB cos О±.

Так як ортогональне проектування - різновид паралельного, то йому притаманні ті ж властивості.

1.3. Комплексне креслення точки.

Найбільше застосування отримав креслення, складений з двох або більше пов'язаних між собою ортогональних проекцій зображуваного оригіналу. Такий креслення називається комплексним.

Принцип освіти такого креслення полягає в тому, що даний оригінал проектується ортогонально на дві взаємно перпендикулярні площині проекцій, які потім відповідним чином поєднують з площиною креслення. Одна з площин проекції П 1 розташовується горизонтально і називається горизонтальною площиною проекцій. Площина П 2 , яка розташовується вертикально, називається фронтальної площиною проекцій (рис. 3).

Пряму перетину площин проекцій називають віссю проекцій.

Спроектуємо ортогонально на площині проекцій П 1 і П 2 якусь точку А, тоді одержимо дві її проекції: горизонтальну проекцію А 1 на площині П 1 і фронтальну проекцію А 2 на площині П 2 .

Проектують прямі АА 1 і АА 2 , при проекції яких точка А проектується на площині проекцій, визначають проецирующую площину А 1 АА 2 , перпендикулярну до обох площинам проекцій і до осі проекцій х . Прямі А х А 1 і А х А 2 , що є проекціями проецирующей площині на площинах проекцій П 1 і П 2 , будуть перпендикулярні до осі проекцій х .

Відстань А 1 А точки А від горизонтальної площині проекцій називається висотою h точки А, її відстань А 2 А від фронтальної площини проекцій - глибиною f точки А.

Щоб отримати плоский креслення, сумісний площину проекцій П 1 з площиною П 2 , обертаючи площину П 1 навколо осі х в напрямку, вказаному на мал. 3, а. В результаті отримаємо комплексний креслення точки А (рис. 3, б), що складається з двох проекцій А 1 і А 2 точки А, що лежать на одній прямій, перпендикулярній до осі х . Пряма А 1 А 2 , з'єднує дві проекції точки, називається лінією зв'язку.

1.4. Комплексний креслення прямій.

Пряма лінія визначається двома точками, тому на комплексному кресленні всяка пряма l може бути задана проекціями А 1 , А 2 і В 1 , В 2 двох її точок А і В (рис. 4, а, б). А так як ортогональна проекція володіє властивостями прямолінійності та приналежності, то пряма l на комплексному кресленні задається і її проекціями l 1 , L 2 ; вони будуть прямими, що проходять через точки А 1 , В 1 , А 2 , В 2.

Для поділу даного відрізка АВ в даному відношенні досить розділити цьому відношенні одну з проекцій даного відрізка, а потім спроектувати ділить точку на іншу проекцію відрізка. На рис. 5 відрізок АВ поділений точкою М у відношенні 2:3, спочатку в цьому відношенні була поділена проекція А 1 В 1 д...