Графічне рішення рівнянь, нерівностей, систем з параметром.
(алгебра і початки аналізу)
Виконавець: Зирянов Р.Б.
Керівник: Попова Н.Б.
Єкатеринбург 1998
Зміст
I. Введення
II. Рівняння з параметрами.
В§ 1. Визначення.
В§ 2. Алгоритм рішення.
В§ 3. Приклади.
III. Нерівності з параметрами.
В§ 1. Визначення.
В§ 2. Алгоритм рішення.
В§ 3. Приклади.
IV. Список літератури.
V. Додатка.
Введення
Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто призводить до вирішення завдань з параметрами. Деякі ВНЗ також включають в екзаменаційні білети рівняння, нерівності та їх системи, які часто бувають вельми складними і вимагають нестандартного підходу до вирішення. У школі ж цей один з найбільш важких розділів шкільного курсу математики розглядається тільки на нечисленних факультативних заняттях.
Готуючи дану роботу, я ставив мету більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, швидко приводить до відповіді. На мій погляд графічний метод є зручним і швидким способом розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами.
У моєму рефераті розглянуті часто зустрічаються типи рівнянь, нерівностей та їх систем, і, я сподіваюся, що знання, отримані мною в процесі роботи, допоможуть мені при здачі шкільних іспитів і при надходженні а ВУЗ.
В§ 1. Основні визначення
Розглянемо рівняння
| (a, b, c, ..., k, x) = j (a, b, c, ..., k, x), (1)
де a, b, c, ..., k, x-змінні величини.
Будь-яка система значень змінних
а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , ..., k = k 0 , x = x 0 ,
при якій і ліва і права частини цього рівняння приймають дійсні значення, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, ..., k, x. Нехай А - множина всіх допустимих значень а, B - множина всіх допустимих значень b, і т.д., Х - множина всіх допустимих значень х, тобто аГЋА, bГЋB, ..., xГЋX. Якщо у кожного з множин A, B, C, ..., K вибрати і зафіксувати відповідно по одному значенню a, b, c, ..., k і підставити їх в рівняння (1), то отримаємо рівняння відносно x, тобто рівняння з одним невідомим.
Змінні a, b, c, ..., k, які при рішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, містить параметри.
Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d, ..., k, l, m, n а невідомі - літерами x, y, z.
Вирішити рівняння з параметрами - означає вказати, при яких значеннях параметрів існують рішення і які вони.
Два рівняння, містять одні й ті ж параметри, називаються рівносильними, якщо:
а) вони мають сенс при одних і тих же значеннях параметрів;
б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого і навпаки.
В§ 2. Алгоритм рішення.
Знаходимо область визначення рівняння.
Висловлюємо a як функцію від х.
У системі координат Хоа будуємо графік функції а = | (х) для тих значень х, які входять в область визначення даного рівняння.
Знаходимо точки перетину прямої а = с, де с ГЋ (- ВҐ ; + ВҐ ) з графіком функції а = | (х). Якщо пряма а = с перетинає графік а = | (х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього досить вирішити рівняння а = | (х) відносно х.
Записуємо відповідь.
В§ 3. Приклади
I. Вирішити рівняння
(1)
Рішення.
Оскільки х = 0 не є коренем рівняння, то можна дозволити рівняння щодо а:
або
Графік функції - дві "Склеєних" гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії і прямої у = а.
Якщо а ГЋ (- ВҐ ; -1] Г€ (1; + ВҐ ) Г€ , то пряма у = а перетинає графік рівняння (1) в одній точці. Абсцису цієї точки знайдемо при вирішенні рівняння відносно х.
Таким чином, на цьому проміжку рівняння (1) має рішення.
Якщо а ГЋ , то пряма у = а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсциси цих точок можна знайти з рівнянь і, отримуємо
і.
Якщо а ГЋ , то пряма у = а не перетинає графік рівняння (1), отже рішень немає.
Відповідь:
Якщо а ГЋ то;
Якщо а ГЋ , то , ;
Якщо а ГЋ , то рішень немає.
II. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має три різних кореня.
Рішення.
Переписавши рівняння у вигляді і розглянувши пару функцій , Можна зауважити, що шукані значення параметра а і тільки вони будуть відповідати тим положенням графіка функції, при яких він має точно три точки перетину з графіком функції.
У системі координат хОу побудуємо графік функції). Для цього можна уявити її у вигляді і, Розглянемо чотири виникають випадки, запишемо цю функцію у вигляді
Оскільки графік функції - це пряма, що має кут нахилу до осі Ох, рівний, і яка перетинає вісь Оу в точці з координатами (0, а), укладаємо, що три зазначені точки перетину можна отримати лише у випадку, коли ця пряма стосується графіка функції. Тому знаходимо похідну
Відповідь:.
III. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь
має рішення.
Рішення.
З першого рівняння системи одержимо при Отже, це рівняння задає сімейство "полупарабол" - праві гілки параболи "ковзають" вершинами по осі абсцис.
Виділимо в лівій частині другого рівняння повні квадрати і розкладемо її на множники
Безліччю точок площини, задовольняють другого рівняння, є дві прямі
і
З'ясуємо, при яких значеннях параметра а крива з сімейства "Полупарабол" має хоча б одну спільну точку з однією з отриманих прямих.
Якщо вершини полупарабол знаходяться правіше точки А, але лівіше точки В (точка В відповідає вершині тієї "полупараболи", яка стосується
прямий), то аналізовані графіки не мають спільних точок. Якщо вершина "полупараболи" збігається з точкою А, то.
Випадок дотику "полупараболи" з прямою визначимо з умови існування єдиного рішення системи
У цьому випадку рівняння
має один корінь, звідки знаходимо:
Отже, вихідна система не має рішень при, а при чи має хоча б одне рішення.
Відповідь: а ГЋ (- ВҐ; -3] Г€ (; + ВҐ).
<...
