ЗМІСТ:
Рівняння з одним невідомим
Рівняння першого ступеня з двома невідомими
Приклади рівнянь другого степеня з трьома невідомими
Загальний випадок рівняння другого ступеня з двома невідомими
Р А З Р А Б Про Т К А П Р О Г Р А М М
Програма № 1 (рівняння з одним невідомим)
ВСТУП
Мій курсовий проект присвячений одному з найцікавіших розділів теорії чисел - рішенню рівнянь в цілих числах.
Рішення в цілих числах алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами більш ніж з одним невідомим являє собою одну з найскладніших проблем теорії чисел.
Проблема рішення рівнянь у цілих числах вирішена до кінця тільки для рівнянь другого ступеня з двома невідомими. Відзначимо, що для рівнянь будь-якого ступеня з одним невідомим вона не представляє будь-якого істотного інтересу, так як ця задача може бути вирішена за допомогою кінцевого числа проб. Для рівнянь вище другого ступеня з двома або більше невідомими дуже важка не тільки завдання знаходження всіх рішень в цілих числах, але навіть і більш просте завдання встановлення існування кінцевого або нескінченного безлічі таких рішень.
У своєму проекті я спробувала викласти деякі основні результати, отримані в теорії; рішення рівнянь у цілих числах. Теореми, формулируемого в ньому, забезпечені доказами в тих випадках, коли ці докази досить прості.
1. Рівняння з одним невідомим
Розглянемо рівняння першого ступеня з одним невідомим
(1)
Нехай коефіцієнти рівняння і - цілі числа. Ясно, що рішення цього рівняння
буде цілим числом тільки в тому випадку, коли без остачі ділиться на . Таким чином, рівняння (1) не завжди вирішується в цілих числах; так, наприклад, з двох рівнянь і перше має ціле рішення, а друге в цілих числах нерозв'язне.
З тим же обставиною ми зустрічаємося і в разі рівнянь, ступінь яких вище першій: квадратне рівняння має цілі рішення,; рівняння в цілих числах нерозв'язно, так як його коріння, ірраціональні.
Питання про знаходженні цілих коренів рівняння n-го ступеня з цілими коефіцієнтами
(2)
вирішується легко. Дійсно, нехай - цілий корінь цього рівняння. Тоді
,
.
З останньої рівності видно, що ділиться без залишку; отже, кожен цілий корінь рівняння (2) є дільником вільного члена рівняння. Для знаходження цілих рішень рівняння треба вибрати ті з дільників, які при підстановці в рівняння звертають його в тотожність. Так, наприклад, з чисел 1, -1, 2 і -2, представляють собою всі дільники вільного члена рівняння
,
тільки -1 є коренем. Отже це рівняння, має єдиний цілий корінь. Тим же методом легко показати, що рівняння
в цілих числах нерозв'язною.
Значно більший інтерес представляє рішення в цілих числах рівнянні з багатьма невідомими.
2. РІВНЯННЯ ПЕРШОЇ степеня з двома невідомими
Розглянемо рівняння першого ступеня з двома невідомими
,
(3)
де і - Цілі числа, відмінні від нуля, а - довільне ціле. Будемо вважати, що коефіцієнти і не мають спільних дільників, крім одиниці. Дійсно, якщо загальний найбільший дільник цих коефіцієнтів відмінний від одиниці, то справедливі рівності,; рівняння (3) приймає вид
і може мати цілі рішення тільки в тому випадку, коли ділиться на. Таким чином, у разі - всі коефіцієнти рівняння (3) повинні ділитися без остачі на, і, скорочуючи (3) на, прийдемо до рівняння
,
коефіцієнти якого і взаємно прості.
Розглянемо спочатку випадок, коли. Рівняння (3) перепишеться так:
.
(3 ')
Вирішуючи це рівняння щодо, отримаємо
.
Ясно, що буде приймати цілі значення в тому і тільки в тому випадку, коли ділиться на всі сто. Але всяке ціле , кратне , Можна записати у вигляді
,
де бере довільні цілі значення. Підставимо це значення в попереднє рівняння, тоді
,
і ми отримуємо формули, що містять всі цілі розв'язки рівняння (3 '):
,.
Перейдемо тепер до випадку.
Покажемо, перш за все, що для знаходження всіх цілих рішень рівняння (3) достатньо знайти якесь одне його рішення, тобто знайти такі цілі числа,, для яких
,
Т е про р м а I . Нехай а і b взаємно прості і - якесь рішення рівняння
,
(3)
Тоді формули
,
(4)
при дають всі рішення рівняння (3).
Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай - довільне рішення рівняння (3). Тоді з рівностей
|
 Український реферат переглянуто разів: | Коментарів до українського реферату: 0
|
|