Теми рефератів
> Авіація та космонавтика > Банківська справа > Безпека життєдіяльності > Біографії > Біологія > Біологія і хімія > Біржова справа > Ботаніка та сільське гос-во > Бухгалтерський облік і аудит > Військова кафедра > Географія
> Геодезія > Геологія > Держава та право > Журналістика > Видавнича справа та поліграфія > Іноземна мова > Інформатика > Інформатика, програмування > Історія > Історія техніки
> Комунікації і зв'язок > Краєзнавство та етнографія > Короткий зміст творів > Кулінарія > Культура та мистецтво > Культурологія > Зарубіжна література > Російська мова > Маркетинг > Математика > Медицина, здоров'я > Медичні науки > Міжнародні відносини > Менеджмент > Москвоведение > Музика > Податки, оподаткування > Наука і техніка > Решта реферати > Педагогіка > Політологія > Право > Право, юриспруденція > Промисловість, виробництво > Психологія > Педагогіка > Радіоелектроніка > Реклама > Релігія і міфологія > Сексологія > Соціологія > Будівництво > Митна система > Технологія > Транспорт > Фізика > Фізкультура і спорт > Філософія > Фінансові науки > Хімія > Екологія > Економіка > Економіко-математичне моделювання > Етика > Юриспруденція > Мовознавство > Мовознавство, філологія > Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Рішення рівнянь в цілих числах

Реферат Рішення рівнянь в цілих числах

ЗМІСТ:

Рівняння з одним невідомим

Рівняння першого ступеня з двома невідомими

Приклади рівнянь другого степеня з трьома невідомими

Загальний випадок рівняння другого ступеня з двома невідомими

Р А З Р А Б Про Т К А П Р О Г Р А М М

Програма № 1 (рівняння з одним невідомим)


ВСТУП

Мій курсовий проект присвячений одному з найцікавіших розділів теорії чисел - рішенню рівнянь в цілих числах.

Рішення в цілих числах алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами більш ніж з одним невідомим являє собою одну з найскладніших проблем теорії чисел.

Проблема рішення рівнянь у цілих числах вирішена до кінця тільки для рівнянь другого ступеня з двома невідомими. Відзначимо, що для рівнянь будь-якого ступеня з одним невідомим вона не представляє будь-якого істотного інтересу, так як ця задача може бути вирішена за допомогою кінцевого числа проб. Для рівнянь вище другого ступеня з двома або більше невідомими дуже важка не тільки завдання знаходження всіх рішень в цілих числах, але навіть і більш просте завдання встановлення існування кінцевого або нескінченного безлічі таких рішень.

У своєму проекті я спробувала викласти деякі основні результати, отримані в теорії; рішення рівнянь у цілих числах. Теореми, формулируемого в ньому, забезпечені доказами в тих випадках, коли ці докази досить прості.


1. Рівняння з одним невідомим

Розглянемо рівняння першого ступеня з одним невідомим

(1)

Нехай коефіцієнти рівняння і - цілі числа. Ясно, що рішення цього рівняння

буде цілим числом тільки в тому випадку, коли без остачі ділиться на . Таким чином, рівняння (1) не завжди вирішується в цілих числах; так, наприклад, з двох рівнянь і перше має ціле рішення, а друге в цілих числах нерозв'язне.

З тим же обставиною ми зустрічаємося і в разі рівнянь, ступінь яких вище першій: квадратне рівняння має цілі рішення,; рівняння в цілих числах нерозв'язно, так як його коріння, ірраціональні.

Питання про знаходженні цілих коренів рівняння n-го ступеня з цілими коефіцієнтами

(2)

вирішується легко. Дійсно, нехай - цілий корінь цього рівняння. Тоді

,

.

З останньої рівності видно, що ділиться без залишку; отже, кожен цілий корінь рівняння (2) є дільником вільного члена рівняння. Для знаходження цілих рішень рівняння треба вибрати ті з дільників, які при підстановці в рівняння звертають його в тотожність. Так, наприклад, з чисел 1, -1, 2 і -2, представляють собою всі дільники вільного члена рівняння

,

тільки -1 є коренем. Отже це рівняння, має єдиний цілий корінь. Тим же методом легко показати, що рівняння

в цілих числах нерозв'язною.

Значно більший інтерес представляє рішення в цілих числах рівнянні з багатьма невідомими.

2. РІВНЯННЯ ПЕРШОЇ степеня з двома невідомими

Розглянемо рівняння першого ступеня з двома невідомими

,

(3)

де і - Цілі числа, відмінні від нуля, а - довільне ціле. Будемо вважати, що коефіцієнти і не мають спільних дільників, крім одиниці. Дійсно, якщо загальний найбільший дільник цих коефіцієнтів відмінний від одиниці, то справедливі рівності,; рівняння (3) приймає вид

і може мати цілі рішення тільки в тому випадку, коли ділиться на. Таким чином, у разі - всі коефіцієнти рівняння (3) повинні ділитися без остачі на, і, скорочуючи (3) на, прийдемо до рівняння

,

коефіцієнти якого і взаємно прості.

Розглянемо спочатку випадок, коли. Рівняння (3) перепишеться так:

.

(3 ')

Вирішуючи це рівняння щодо, отримаємо

.

Ясно, що буде приймати цілі значення в тому і тільки в тому випадку, коли ділиться на всі сто. Але всяке ціле , кратне , Можна записати у вигляді

,

де бере довільні цілі значення. Підставимо це значення в попереднє рівняння, тоді

,

і ми отримуємо формули, що містять всі цілі розв'язки рівняння (3 '):

,.

Перейдемо тепер до випадку.

Покажемо, перш за все, що для знаходження всіх цілих рішень рівняння (3) достатньо знайти якесь одне його рішення, тобто знайти такі цілі числа,, для яких

,

Т е про р м а I . Нехай а і b взаємно прості і - якесь рішення рівняння

,

(3)

Тоді формули

,

(4)

при дають всі рішення рівняння (3).

Д про до а із а т е л ь с т в о. Нехай - довільне рішення рівняння (3). Тоді з рівностей


Страница 1 из 4 | Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Поиск
Товары
загрузка...