Реферат Ряди Фур'є та їх застосування

Введення.

Жан Батіст Жозеф Фур'є - французький математик, член Паризької Академії Наук (1817).

Перші праці Фур'є відносяться до алгебри. Вже в лекціях 1796 він виклав теорему про число дійсних коренів алгебраїчного рівняння, лежачих між даними кордонами (опубл. 1820), названу його ім'ям; повне рішення про число дійсних коренів алгебраїчного рівняння було отримане в 1829 Ж.Ш.Ф. Штурмом. У 1818 Фур'є досліджував питання про умови застосовності розробленого Ньютоном методу чисельного рішення рівнянь, не знаючи про аналогічні результатах, отриманих в 1768 французьким математиком Ж.Р. Мурайлем. Підсумком робіт Фур'є з чисельних методів розв'язання рівнянь є В«Аналіз певних рівнянь В», виданий посмертно в 1831.

Основною областю занять Фур'є була математична фізика. У 1807 і 1811 він представив Паризької Академії Наук свої перші відкриття по теорії поширенні тепла в твердому тілі, а в 1822 опублікував відому роботу В«Аналітична теорія теплотиВ», що зіграла велику роль в подальшій історії математики. Це - математична теорія теплопровідності. В силу спільності методу ця книга стала джерелом всіх сучасних методів математичної фізики. У цій роботі Фур'є вивів диференціальне рівняння теплопровідності і розвинув ідеї, в найзагальніших рисах намічені раніше Д. Бернуллі, розробив для вирішення рівняння теплопровідності при тих чи інших заданих граничних умовах метод розділення змінних (метод Фур'є), який він застосовував до ряду окремих випадків (куб, циліндр і ін). В основі цього методу лежить представлення функцій тригонометричними рядами Фур'є.

Ряди Фур'є тепер стали добре розробленим засобом в теорії рівнянь в приватних похідних при вирішенні граничних задач.

1. Поняття ряду Фур'є. (Стор. 94, Уваренко)

Ряди Фур'є відіграють велику роль у математичній фізики, теорії пружності, електротехніці і особливо їх окремий випадок - тригонометричні ряди Фур'є.

тригонометричним рядом називають ряд виду

або, символічною записи:

(1)

де П‰, a 0 , a 1 , ..., A n , ..., b 0 , b 1 , ..., b n , ... - постійні числа (П‰> 0).

До вивчення таких рядів історично привели деякі завдання фізики, наприклад задача про коливання струни (XVIII в.), задача про закономірності в явищах теплопровідності та ін У додатках розгляд тригонометричних рядів , насамперед пов'язано із завданням подання даного руху, описаного рівнянням у = Ж’ (П‡), ввиде суми найпростіших гармонійних коливань, часто взятих у нескінченно великому числі, т. тобто в якості суми ряду виду (1).

Таким чином, ми приходимо до наступної задачі: з'ясувати чи існує для даної функції Ж’ (x) на заданому проміжку такий ряд (1), який сходився б на цьому проміжку до даної функції. Якщо це можливо, то кажуть, що на цьому проміжку функція Ж’ (x) розкладається в тригонометричний ряд.

Ряд (1) сходиться в деякій точці х 0 , в силу періодичності функцій (n = 1,2, ..), він виявиться збіжним і в усіх точках виду (m- будь-яке ціле число), і тим самим його сума S (x) буде (в області збіжності ряду) періодичної функцією: якщо S n (x) - n-я часткова сума цього ряду, то маємо

а тому і, тобто S (x 0 + T) = S (x 0 ). Тому, говорячи про розкладанні деякою функції Ж’ (x) в ряд виду (1), будемо припускати Ж’ (x) періодичної функцією.

2. Визначення коефіцієнтів ряду за формулами Фур'є.

Нехай періодична функція Ж’ (х) з періодом 2ПЂ така, що вона представляється тригонометричним поруч, сходящимся до даної функції в інтервалі (-ПЂ, ПЂ), тобто є сумою цього ряду:

Ж’ (x) =. (2)

Припустимо, що інтеграл від функції, що стоїть в лівій частині цієї рівності, дорівнює сумі інтегралів від членів цього ряду. Це буде виконуватися, якщо припустити, що числовий ряд, складений з коефіцієнтів даного тригонометричного ряду, абсолютно сходиться, тобто. сходиться позитивний числової ряд

(3)

Ряд (1) мажоріруем і його можна почленно інтегрувати в проміжку (-ПЂ, ПЂ). Проінтегруємо обидві частини рівності (2):

.

Обчислимо окремо кожен інтеграл, зустрічається в правій частині:

,

,

.

Таким чином,, звідки

. (4)

Оцінка коефіцієнтів Фур'є. (Бугров)

Теорема 1. Нехай функція Ж’ (x) періоду 2ПЂ має безперервну похідну Ж’ ( s) (x) порядку s, задовольняє на всій дійсній осі нерівності:

│ ƒ ( s) (x) │ ≤ M s ; (5)

тоді коефіцієнти Фур'є функції Ж’ задовольняють нерівності

(6)

Доказ. Інтегруючи по частинам і враховуючи, що

Ж’ (-ПЂ) = Ж’ (ПЂ), маємо

Тому

Інтегруючи праву частину (7) послідовно, враховуючи, що похідні Ж’ , ..., Ж’ ( s-1) безупинні і приймають однакові значення в точках t =-ПЂ і t = ПЂ, а також оцінку (5), отримаємо першу оцінку (6).

Друга оцінка (6) виходить подібним чином.

Теорема 2. Для коефіцієнтів Фур'є Ж’ (x) має місце нерівність

(8)

Доказ. Маємо

(9)

Вводячи в даному випадку заміну змінної і враховуючи, що Ж’ (x) - періодична функція, отримаємо

Складаючи (9) і (10), отримуємо

Звідси

Аналогічним чином проводимо доказ для b k .

Слідство. Якщо функція Ж’ (x) неперервна, то її коефіцієнти Фур'є прагнуть до нуля: a k в†’ 0, b k в†’ 0, k в†’ в€ћ.

Простір функцій зі скалярним твором.

Функція Ж’ (x) називається кусково-неперервної на відрізку [a, b], якщо вона неперервна на цьому відрізку, за винятком, може бути, кінцевого числа точок, де вона має розриви першого роду. Такі точки можна складати і множити на дійсні числа і отримувати як результат знову кусочно-безперервні на відрізку [a, b] функції.

Скалярним твором двох кусково-неперервних на [a, b] (a

(11)