Малоязовская башкирська гімназія
Геометрія
Реферат
на тему:
"Перетворення фігур"
Виконав: учень 10 Б класу
Халіуллін А.Н.
Перевірила: Ісрафілова Р.Х.
Малояз 2003
План:
I . Перетворення.
II . Види перетворень
1. Гомотетия
2. Подоба
3. Рух
III . Види руху
1. Симетрія щодо точки
2. Симетрія відносно прямої
3. Симетрія відносно площини
4. Поворот
5. Паралельний перенос в просторі
I . Перетворення - зміщення кожної точки даної фігури яким-небудь чином, і отримання нової фігури.
II . Види перетворення в просторі : подобу, гомотетия, рух.
Подоба
Перетворення фігури F називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне і те ж число раз, тобто для будь-яких точок X і Y фігури F і точок X ', Y 'фігури F', в які він переходять, X'Y '= k * XY.
Властивості подібності: 1. Подобу переводить прямі в прямі, півпрямі - у півпрямі, відрізки - у відрізки.
2. Подобу зберігає кути між полупрямой
3. Подоба переводить площині в площині.
Дві фігури називаються подібними, якщо вони переводяться одна в іншу перетворенням подібності.
Гомотетия
Гомотетия - найпростіше перетворення щодо центру O з коефіцієнтом гомотетії k. Це перетворення, яке переводить довільну точку X 'променя OX, таку, що OX '= k * OX.
Властивість гомотетии: 1. Перетворенням гомотетии переводить будь-яку площину, не проходить через центр гомотетії, у паралельну площину (або в себе при k = 1).
Доказ. Дійсно, нехай O - центр гомотетії і a - будь-яка площина, не проходить через точку O. Візьмемо будь-яку пряму AB у площині a. Перетворення гомотетії переводить точку A в точку A 'на промені OA, а точку B в точку B 'на промені OB, причому OA'/OA = k, OB '/ OB = k, де k - коефіцієнт гомотетії. Звідси випливає подобу трикутників AOB і A'OB '. З подоби трикутників випливає рівність відповідних кутів OAB і OA'B ', а значить, паралельність прямих AB і A'B'. Візьмемо тепер іншу пряму AC у площині a. Вона при гомотетии перейде а паралельну пряму A'C '. При розглянутій гомотетии площину aперейдет в площину a ', що проходить через прямі A'B ', A'C'. Так як A'B '| | AB і A'C' | | AC, то по теоремі про двох пересічних прямих площині відповідно паралельними з пересічними прямими іншій площині, площині a і a 'паралельні, що і вимагалося довести.
Рух
Рухом - перетворення однієї фігури в іншу якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X і Y однієї фігури в точки X, Y іншої фігури так, що XY = XY
Властивості руху: 1. Точки, що лежать на прямий, при русі переходять в точки, що лежать на прямій, і зберігається порядок їх взаємного розташування. Це значить, що якщо A, B, C, лежать на прямій, переходять у точки A 1 , B 1 , C 1 . То ці точки також лежать на прямій; якщо точка B лежить між точками A і C, то точка B 1 лежить між точками A 1 і C 1.
Доказ. Нехай точка B прямий AC лежить між точками A і C. Доведемо, що точки A 1 , B 1 , C 1 лежать на одній прямій.
Якщо точка A 1 , B 1 , C 1 не лежать на прямій, то вони є вершинами трикутника. Тому A 1 C 1 1 B 1 + B 1 C 1 . За визначенню руху звідси випливає, що AC
Ми прийшли до протиріччя. Значить, точка B 1 лежить на прямій A 1 C 1 . Перше твердження теореми доведено.
Покажемо тепер, що точка B 1 лежить між A 1 і C 1 . Припустимо, що точка A 1 лежить між точками B 1 і C 1 . Тоді A 1 B 1 + A 1 C 1 = B 1 C 1 , і, отже, AB + AC = BC. Але це суперечить нерівності AB + BC = AC. Таким чином, точка A 1 не може лежати між точками B 1 і C 1 .
Аналогічно доводимо, що точка C 1 не може лежати між точками A 1 і B 1 .
Так як з трьох точок A 1 , B 1 , C 1 одна лежить між двома іншими, то цією точкою може бути лише B 1 . Теорема доведена повністю.
2. При русі прямі переходять у прямі, півпрямі - У півпрямі, відрізки - у відрізки
3. При русі зберігаються кути між півпрямі.
Доказ. Нехай AB і AC - дві півпрямі, витікаючі з точки A, не лежачі на оной прямий. При русі ці напівпрямі переходять до деяких напівпрямі A 1 B 1 і A 1 C 1 . Так як рух зберігає відстань, то трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 рівні за Третя ознака рівності трикутників. З рівності трикутників випливає рівність кутів BAC і B 1 A 1 C 1 , що і вимагалося довести.
4. Рух переводить площину в площину.
Доведемо це властивість. Нехай a - довільна площина. Відзначимо на ній будь-які три точки A, B, C, не лежать на одній прямій. Проведемо через них площину a '.
Доведемо, що при розглянутому русі площину a переходить в площину a '.
Нехай X - довільна точка площини a. проведемо через неї якусь пряму a у площині a, перетинає трикутник ABXC в двох точках Y і Z. Пряма а перейде при русі в деяку пряму a '. Точки Y і Z прямий a перейдуть в точки Y 'і Z', належать трикутнику A'B'C ', а значить, площини a'.
Отже пряма a 'лежить у площині a'. Точка X при русі переходить в точку X ' прямий a ', а значить, і площини a', що й потрібно було довести.
У просторі, так само як і на площині, дві фігури називаються рівними , якщо вони суміщаються рухом.
III . Види руху: симетрія щодо точки, симетрія відносно прямої, симетрія відносно площини, поворот, рух, паралельний перенос.
Симетрія щодо точки
Нехай О - фіксована точка і X - довільна точка площини. Відкладемо на продовженні відрізка OX за точку O відрізок OX ', рівний OX. Точка X 'називається симетричною точці X щодо точки O. Точка, симетрична точці O, є сама точка O. Очевидно, що точка, симетрична точці X ', є точка X.
Перетворення фігури F у фігуру F ', при якому кожна її точка X переходить в точку X ', симетричну щодо даної точці O, називається перетворенням симетрії відносно точки O. При цьому фігури F і F 'називаються симетричними відносно точки O.
Якщо перетворення симетрії відносно точки O переводить фігуру F у себе, то вона називається центрально-симетричною , а точка O називається центром симетрії .
Наприклад, паралелограм є центрально-симетричною фігурою. Його центром симетрії є точка перетину діагоналей.
Теорема: Перетворення симетрії відносно точки є рухом.
Доказ. Нехай X і Y - дві довільні точки фігури F. Перетв...
