Лабораторна робота № 4.
Наближений метод рішення інтегралів.
Метод прямокутників (правих, середніх, лівих).
Гребенникова Марина
12-А клас
Багато інженерні завдання, завдання фізики, геометрії та багатьох інших сфер людської діяльності призводять до необхідності обчислювати визначений інтеграл виду де f (x)-дана функція, безперервна на відрізку [a; b]. Якщо функція f (x) задана формулою і ми вміємо знайти невизначений інтеграл F (x), то визначений інтеграл обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца:
Якщо ж невизначений інтеграл даної функції ми знайти не вміємо, або по небудь причини не хочемо скористатися формулою Ньютона-Лейбніца або якщо функція f (x) задана графічно чи таблицею, то для обчислення визначеного інтеграла застосовують наближені формули. Для наближеного обчислення інтеграла можна використовувати метод прямокутників (правих, лівих, середніх). При обчисленні інтеграла слід пам'ятати, який геометричний зміст визначеного інтеграла. Якщо f (x)> = 0 на відрізку [a; b], то чисельно дорівнює площі фігури, обмеженої графіком функції y = f (x), відрізком осі абсцис, прямий x = a і прямий x = b (рис. 1.1) Таким чином, обчислення інтеграла рівносильне обчисленню площі криволінійної трапеції.
Розділимо відрізок [a; b] на n рівних частин, тобто на n елементарних відрізків. Довжина кожного елементарного відрізка.
Точки поділу будуть: x 0 = a; x 1 = a + h; x 2 = a +2 * h, ... , X n-1 = a + (n-1) * h; x n = b.
Числа y 0 , y 1 , y 2 , ... , Y n є ординатами точок графіка функції, відповідних абсцис x 0 , x 1 , x 2 , ... , X n (Рис. 1.2).
Будуємо прямокутники. Це можна робити декількома способами:
Ліві прямоуголікі (зліва на право)
Праві прямоугонікі (Побудова справа на ліво)
Середні прямокутники (Посередині)
З рис. 1.2 випливає, що площа криволінійної трапеції наближено замінюється площею багатокутника, складеного з n прямокутників. Таким чином, обчислення певного інтеграла зводиться до знаходження суми n елементарних прямокутників.
h = (ba)/n-ширина прямокутників
Формула лівих прямокутників:
(1.3)
Формула правих прямокутників:
(1.4)
Формула середніх прямокутників.
S серед = (S правих + S лівих )/2
(1.5)
Програма обчислення за методом лівих прямокутників.
Program levii; {Метод лівих прямокутників}
uses crt;
var i, n: integer; a, b, h, x, xb, s: real;
function f (x: real): real;
begin f: = (1/x) * sin (3.14 * x/2); end;
begin
clrscr;
write ('Введіть нижню межу інтегрування'); readln (a);
write ('Введіть верхню межу інтегрування'); readln (b);
write ('Введіть кількість відрізків'); readln (n);
h: = (ba)/n; s: = 0; xb: = a;
for i: = 0 to n-1 do
begin x: = xb + i * h; s: = s + f (x) * h; end;
writeln ('Інтеграл рівний', s: 12:10); readln;
end.
a = 1 b = 2 n = 10 S = 18,077
a = 1 b = 2 n = 20 S = 18, 208
a = 1 b = 2 n = 100 S = 18, 270
Програма обчислення за методом правих прямокутників .
Program pravii; {Метод правих прямокутників}
uses crt;
var i, n: integer; a, b, h, x, xb, s: real;
function f (x: real): real;
begin f: = (1/x) * sin (3.14 * x/2); end;
begin
clrscr;
write ('Введіть нижню межу інтегрування'); readln (a);
write ('Введіть верхню межу інтегрування'); readln (b);
write ('Введіть кількість відрізків'); readln (n);
h: = (ba)/n; s: = 0; xb: = a;
for i: = 1 to n do
begin x: = xb + i * h; s: = s + f (x) * h; end;
writeln ('Інтеграл рівний', s: 12:10); readln;
end.
a = 1 b = 2 n = 10 S = 18,05455
a = 1 b = 2 n = 20 S = 18,55555
a = 1 b = 2 n = 100 S = 18,2734
Програма обчислення за методом середніх прямокутників.
Program srednii; {Метод середніх прямокутників}
uses crt;
var i, n: integer; a, b, dx, x, s, xb: real;
function f (x: real): real;
begin f: = (1/x) * sin (3.14 * x/2); end;
begin
clrscr;
write ('Введіть нижню межу інтегрування'); readln (a);
write ('Введіть верхню межу інтегрування'); readln (b);
write ('Введіть кількість відрізків'); readln (n);
dx: = (ba)/n; xb: = a + dx/2;
for i: = 0 to n-1 do
begin x: = xb + i * dx; s: = s + f (x) * dx; end;
write ('Інтеграл рівний', s: 15:10); readln;
end.
a = 1 b = 2 n = 10 S = 18,07667
a = 1 b = 2 n = 20 S = 18,368
a = 1 b = 2 n = 100 S = 18,156
Висновок і висновки.
Таким чином очевидно, що при обчисленні визначених інтегралів методами прямокутників не дає нам точного значення, а тільки наближене.
Чим більше значення n, тим точніше значення інтеграла ..
