Гімназія № 1 міста Полярні Зорі
Алгебра, геометрія, фізика.
Наукова робота
ТЕМА "ПОХІДНА ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ В алгебрі, геометрії, ФІЗИКИ ".
Керівники:
Полуектова Наталія Павлівна,
викладач алгебри, геометрії
Конкін Олександр Миколайович,
викладач фізики, астрономії
Автор:
Бірюков Павло Вячеславович.
Полярні Зорі
січень-травень 2001 р.
ЗМІСТ
Похідна функція: ......................................................................... 3
1. Похідна функція ..................................................................... 3
2. Дотична до кривої ..................................................................... 5
3. Геометричний зміст похідної .................................................. 6
4. Залежність між диференційовних і безперервністю функції ..... 7
Похідні від елементарних функцій: ................................................ 8
1. Похідна постійної .................................................................. 8
2. Таблиця елементарних похідних ................................................... 8
3. Правила диференціювання ............................................................ 8
Вивчення функцій за допомогою похідної: ........................................... 9
1. Ознаки сталості, зростання і убування функцій ........................ 9
2. Завдання на відшукання найбільших і найменших значень величин .......... 11
3. Максимум і мінімум функції ....................................................... 12
4. Ознаки існування екстремуму ................................................ 12
5. Правило знаходження екстремуму ...................................................... 14
6. Знаходження екстремуму за допомогою другої похідної ..................... 14
7. Напрямок угнутості кривої ...................................................... 16
8. Точки перегину ............................................................................ 17
9. Механічне значення другої похідною ....................................... 18
Диференціал: ................................................................................. 19
1. Порівняння нескінченно малих .......................................................... 19
2. Диференціал функції ................................................................. 19
3. Диференціал аргументу. Похідна як відношення диференціалів ... 21
4. Додатки поняття диференціала до наближених обчислень ....... 22
Приклади застосування похідної в алгебрі, геометрії і фізиці .......... 23
Список літератури ............................................................................. 34
Рецензія на роботу функція
Поставимо своїм завданням визначити швидкість, з якою змінюється величина у в залежності від зміни величини х. Так як нас цікавлять різноманітні випадки, то ми не будемо надавати певного фізичного сенсу залежності y = f ( x ), тобто будемо розглядати величини х і у як математичні.
Розглянемо функцію y = f ( x ), безперервну на відрізку [а, b ]. Візьмемо два числа на цьому відрізку: х і х + О”x; перше, х, в ході всього міркування вважаємо незмінним, О”x - його приростом. Приріст О” x ; аргументу обумовлює прирощення О”у функції, причому:
О”y = f (x + О”x)-f (x). (I)
Знайдемо відношення приросту О”у функції до приросту О”x аргументу:
О” у /О”x = (f (x + О”x)-f (x))/О”x. (II)
За попереднім, це відношення являє собою середню швидкість зміни у щодо х на відрізку
[x, x + О”x] .
Будемо тепер необмежено наближати О”x до нуля.
Для неперервної функції f ( x ) прагнення О”x до нуля викликає прагнення до нуля О”у , ставлення (II) стає при цьому ставленням нескінченно малих, взагалі величиною змінною. Нехай це змінне відношення (II) має цілком певну межу (стверджувати, що певний межа відносини О” x /О”у завжди існує не можна), позначимо його символом f '(Х).
lim ( (f (x + О”x)-f (x))/О”x) = f '(x)
О” x в†’ 0
(III)
З фізичної точки зору ця межа є значення швидкості зміни функції f ( x ) щодо її аргументу при даному значенні х цього аргументу. В аналізі цю межу називають похідної даної функ-ції в точці х.
Визначення. Похідною даної функції в точки х називається границя відношення приросту цієї функції до приросту аргументу в точці х, коли прирощення аргументу прагне до нуля.
2 В° . Нехай кожному значенню аргументу х відповідає певне значення швидкості зміни функції f ( x ). Тоді швидкість f ' (х) є нова функція аргументу х, вона називається похідною функцією від даної функції f ( x ).
Наприклад, похідна функція від квадратної функції Q = bt + at 2 є лінійна функція Q '= b + 2 at .
3 В° . Похідна функція позначається так: 1) у даній функції ставиться штрих на тому місці, де зазвичай поміщається показник ступеня, або 2) перед позначенням
даної функції ставиться символ d/dx.
Якщо дана функція позначена буквою у, то її похідна може бути позначена:
1) у ', читати: В«похідна функції уВ»,
або
2) dy/dx, читати: В«де ігрек по де іксВ».
Якщо дана функція позначена символом f ( x ), то її похідна може бути позначена:
1) f '(х), читати: В«Похідна функції f ( x ) В»,
або ж
2) df ( x )/ dx , читати: В« де еф від ікс по де ікс В».
4 В° . Знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції.
Загальне правило диференціювання (знаходження похідної) наступне:
1) знайти прирощення О” y функції, т. е. різницю значень функції при значеннях аргументу x + О”x і x ;
2) знайти ставлення О”y / О”x , для цього отримане вище рівність розділити на О”x
3) знайти межа відносини О”y/О”x при О”x в†’ 0.
Приклад. Знайти похідну функції у = х 3 + 1 в будь-якій точці x.
Рішення. 1) О”y = ( x + О”x) 3 + 1 - (х 3 + 1).
За виконанні дій:
О”y = З x 2 * О”x + З < i> x * О”x 2 + О”x 3 ;
2) О”y/О”x = 3 x 2 + З x * О”x + О”x 2 ;
3) d...
