Серед простих чисел особливу роль грають прості числа Мерсенна - числа виду 1) М р = 2 р -1, де р - Просте число. Вони називаються простими числами Мерсенна по імені французького ченця Мерена Мерсенна (1588-1648), одного із засновників Паризької Академії наук, одного Декарта і Ферма. Так як М 2 = 3, М 3 = 7, М 5 = 31, М 7 = 127 , то це - прості числа Мерсенна. Однак, число 2) М 11 = 2047 = 23 . 89 простим не є. До 1750 року було знайдено всього 8 простих чисел Мерсенна: М 2 , М 3 , М 5 , М 7 , М 13 , М 17 , М 19 , М 31 . Те, що М 31 - просте число, довів в 1750 році Л. Ейлер. У 1876 році французький математик Едуард Люка
встановив, що число
3) М 127 = 170141183460469231731687303715884105727
- просте. У 1883 р. Сільський священик Пермської губернії І.М.Первушін без всяких обчислювальних приладів довів, що число М 61 = 2305843009213693951 є простим. Пізніше було встановлено, що числа М 89 і М 107 - прості. Використання ЕОМ дозволило в 1952-1964 роках довести, що числа М 521 , М 607 , М 1279 , М 2203 , М 2281 , М 3217 , М 4253 , М 4423 , М 2689 , М 9941 , М 11213 - прості. До теперішнього часу відомо вже більше 30 простих чисел Мерсенна, одне з яких М 216091 має 65050 цифр. Великий інтерес до простих числах Мерсенна викликаний їхній тісній зв'язком з досконалими числами.
Натуральне число Р називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх дільників крім Р .
Евклід довів, що якщо р і 2 р -1 - Прості числа, то число 4) Р р = 2 р-1 (2 р -1) = 2 р-1 М р є досконалим.
Дійсно, дільниками такого числа, включаючи саме це число, є 5) 1,2, ... , 2 р-1 , М р , 2М р , ... , 2 р-1 М р .
Їх сума S p = (1 +2 + ... +2 р-1 ) (М р +1) = (2 р -1) . 2 р = 2 . 2 р-1 М р . Віднімаючи з S саме число Р р , переконуємося, що сума всіх дільників числа Р р дорівнює цьому числу, отже Р р - досконале число.
Числа Р 2 = 6 і Р 3 = 28 були відомі ще піфагорійцям. Числа Р 5 = 496 і Р 7 = 8128 знайшов Евклід. Використовуючи інші прості числа Мерсенна і формулу 4, знаходимо наступні скоєні числа:
6) Р 13 = 33550336, Р 17 = 8589869056, Р 19 = 137438691328, Р 31 = 2305843008139952128.
Для всіх інших чисел Мерсенна числа Р р мають дуже багато цифр.
До цих пір залишається загадкою, як Мерсенн зміг висловити правильне твердження, що числа Р 17, Р 19, Р 31 є досконалими. Пізніше було виявлено, що майже за сто років до Мерсенна числа Р 17, Р 19 знайшов італійський математик Катальді - професор університетів Флоренції і Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїм обранцям правильні значення цих скоєних чисел. Якщо врахувати, що ще піфагорійці вважали перший вчинене число 6 символом душі, що друге досконале число 28 відповідало числу членів багатьох вчених товариств, що навіть у дванадцятому столітті церква вчила: для спасіння душі досить вивчати скоєні числа і тому, хто знайде нове божественне досконале число, уготоване вічне блаженство, то стає зрозумілим винятковий інтерес до цих чисел.
Однак і з математичної точки зору парні скоєні числа по-своєму унікальні. Всі вони - трикутні. Сума величин, зворотних всім ділітелям числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від ділення досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. У двійковій системі досконале число Р р починається р одиницями, потім слідують р-1 нулів. Наприклад:
7) Р 2 = 110, Р 3 = 11100, Р 5 = 111110000, Р 7 = 1111111000000 і т.д.
Остання цифра парного досконалого числа або 6, або 8, причому, якщо 8, то їй передує 2.
Леонард Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд 2 р-1. М р , де М р -просте число Мерсенна. Проте до цих пір не знайдено жодного непарного досконалого числа. Висловлено припущення (Брайен Такхерман, США), що якщо таке число існує, то воно повинно мати не менше 36 знаків.
