МОГИЛЕВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ІМ. А. А. Кулешова
Реферат
Розвиток аналітичної геометрії
Виконала
студентка
фізико-математичного
факультету
V курсу, групи "Г"
Гуленкова Оксана
Могильов 2002.
Алгебраїчні методи в геометрії
Застосування алгебри в геометрії мало до початку XVII в. довгу історію. Ще стародавні вавілоняни вирішували багато завдань на прямокутні трикутники, висловлюючи шукані відрізки, як коріння численних квадратних рівнянь; аналогічні прийоми вживалися згодом неодноразово. У класичній! Греції важливим засобом геометричного дослідження, в Зокрема конічних перетинів, служила геометрична алгебра, в якій місце обчислень займали побудови відрізків.
Бурхливі успіхи символічною і числової алгебри в XVI в. з'явилися основою набагато більше обширних додатків алгебраїчного методу в геометрії, що призвели до створення нової аналітичної геометрії. Спочатку роботи в цьому напрямку не виходили за межі традиційних постановок і рішень питань, іноді досить складних. Велике число таких задач було розглянуто Вієтом, за яким пішли й інші, наприклад Марин Геталдіч (Гетальді, 1566-1627), уродженець югославського міста Дубровник (Рагуза), в той час колишнього самостійною республікою. Учень Хр. Клавия і добрий знавець грецьких авторів, Гетальді випробував особливо сильний вплив Вієта, з яким познайомився під час перебування в Парижі. У "Зібранні різних завдань В»(Variorum problematum collectio, Veneliae, 1607) та посмертно виданому праціВ« Про математичному аналізі та синтезі В»(De resolutione et compositione mathematica, Romae, 1630) Гетальді засобами алгебри Вієта вирішує різноманітні задачі на ділення відрізків, побудова трикутників і так звані вставки (СР т. I, стор 84); по більшій частині його завдання виражаються рівняннями першого чи другого ступеня щодо шуканого невідомого відрізка. У деяких випадках застосовується чисто геометричне рішення. Згадаємо античну завдання про вставці між продовженням боку квадрата і найближчій перпендикулярної стороною відрізка даної довжини, продовження якого проходить через вершину квадрата, не лежачу на названих сторонах. Гетальді відніс завдання до тих, які не відносяться до алгебрі (sub algebram non cadunt), і вирішив її геометрично. Дане завдання привернула увагу й інших учених. Жирар (1629) висловив її рівнянням четвертого ступеня і показав, як пов'язаний вибір знаків перед радикалами, що входять до його коріння, з становищем частин шуканого відрізка. Декарт (1637) розглянув її з метою привести приклад рівняння четвертого ступеня, що розпадається на два квадратних (Коефіцієнти яких, між іншим, квадратично ірраціональні щодо вихідних коефіцієнтів). Попутно Декарт вказав, як від більш-менш вдалого вибору невідомої залежить порівняльна простота рівняння. Ці міркування Декарта докладніше розвинені в В«Загальній арифметиціВ» Ньютона. Оригінальна рішення належить ще Гюйгенсу.
Алгебраїчним рішенням геометричних задач займалися, як видно, дуже багато. До вже названим можна додати, наприклад, ім'я англійського алгебраиста Вільяма Отреда (1574-1660), на книзі якого, під заголовком, подібно до одного з творів ал-Каші, В«Ключ математикиВ» (Clavis mathematicae, Londini, 1631) [1], відбилося безсумнівний вплив В«Збори різних завданьВ» Гетальді.
Аналітична геометрія
Описана алгебраїчна трактування питань геометрії підготовляла грунт для створення аналітичної геометрії, предметом якої є вже нс тільки знаходження окремих відрізків, які висловлюються корінням рівнянь з одним невідомим, але вивчення властивостей різних геометричних образів, насамперед алгебраїчних ліній і поверхонь, які висловлюються рівняннями з двома або більше невідомими або ко-ординатами.
Координати з'явилися ще в давнину, притому в різних формах, між собою безпосередньо не пов'язаних. З одного боку, це були географічні координати, іменувалися довготою і широтою, причому становище пунктів земної поверхні, зображеної у вигляді прямокутника, характеризувалося парою чисел. Подібними були астрономічні координати, що служили для визначення положення світил на небесній сфері. Інший вид координат являли собою відрізки, залежності між якими, так звані симптоми (див. т. I, 130), висловлювали визначають властивості цих кривих. У цьому випадку мова йшла не про числових координатах будь-яких точок з відліком від фіксованого меридіана і паралелі, а про відтинках діаметрів і хорд, пов'язаних з точками розглянутої фі-Гури.
Своєрідною різновидом координат були відрізки широт і довгот в теорії зміни форм Орема. Тут не було ні числових координат будь-яких точок, ні В«симптомівВ», виражених засобами геометричній алгебри; словесно сформульована залежність між широтою і довготою форми зображувалася плоскою лінією.
Координатні відрізки давньогрецької геометрії стали відомі в Європі частиною по арабським творам, але головним чином за працями Архімеда і особливо Аполлонія. Паралельні хорди або полухорди, поєднані деякому діаметру, Аполлоній називав, якщо перекласти з грецької, В«по порядку проведеними лініямиВ», а відрізки цього діаметра від його кінця до хорди - В«відрубаними діаметрі по порядку проведеними (Лініями) В»(на рис. 6 відповідно у і x ). У своєму згадуваному раніше латинському виданні В«Конічних перетинівВ» (Венеція, 1566) Федоріго Коммандіно початок
вирази передав обігом ordinatim applicatae, тобто В«по порядку прикладені В»(тобто спрямовані) [2], а друге - quae ab ipsis ex diametro ad verticem abscinduntur, тобто В«які відсікаються ними па діаметрі від вершини В». Звідси беруть початок терміни abscissa, тобто В«відтятаВ», ordinata і applicata, які, втім, вкоренилися не відразу. Слово В«АбсцисаВ», встречавшееся в сенсі відрізка в різних авторів, наприклад Кавальерп (1635), стає технічним терміном координатної геометрії в 1668 у Мікеланджело Річчі (1619-1692) ii особливо у Лейбніца, починаючи з рукописів 1673 Ферма і Декарт у своїх основоположних творах з аналітичної геометрії (1636-1637; писали ще про В«відрізках діаметра В». Слово В«ординатаВ» у нашому розумінні застосовував інший перекладач па латину В«Конічних перетинівВ» - Франчсско Мавролік. Ферма користувався терміном applicata, Декарт - appliquee par ordre, тобто французьким перекладом ordinatim applicata, але також (в листі 1638 р.) словом ordonnee, яке незадовго перед тим у 1637 р. вжив у своєму курсі П. Ерігона (в латинському тексті 1644г.-ordinata); потім ним став регулярно користуватися Лейбніц.
В середині XVIII в. слово В«ординатаВ» починає витісняти в геометрії на площині слово В«аппликатаВ». Обидві координати спочатку називалися невідомими величинами, як у Ферма, чи невизначеними, як у Декарта; слово В«КоординатиВ» увів в 1692 р. Лейбніц, маючи на увазі вже будь-які криволінійні координати. Але ще й пізніше поняття про координатах пов'язувалося з відрізками діаметрів і хордами пласких кривих. Так стоїть, наприклад, справа в статтях В«Abscissa, die Abscisse В»іВ« Ordinatae, ordinatim applicatae, die Ordinaten »« Математичного словника В»(Mathematisches Lexicon, Leipzig, 1716) Xp. Вольфа (СР стор 35).
Термін «³сьВ», який у Аполлонія ставився до взаємно перпендикулярним спряженим діаметрам, ужив в більш широкому сенсі І. Барроу (1670). Позначення початковій точки буквою Про сходить до її найменуванню origine - В«початокВ», даному Ф. Лагіром в 1679 р.; двадцятьма роками раніше Я. де Вітт писав про initium immutabile, нерухомому п...
