Загальний історичний огляд
Перші геометричні поняття виникли в доісторичні часи. Різні форми матеріальних тіл спостерігав чоловік у природі: форми рослин і тварин, гір і звивин річок, кола і серпа Місяця і т. п. Однак людина не тільки пасивно спостерігав природу, але практично освоював і використовував її багатства. В процесі практичної діяльності він накопичував геометричні відомості. Матеріальні потреби спонукали людей виготовляти знаряддя праці, обтісувати камені та будувати житла, ліпити глиняний посуд і натягувати тятиву на цибулю. Звичайно, десятки і сотні тисяч раз напинали люди свої луки виготовляли різні предмети з прямими ребрами і т. п., поки поступово дійшли до абстрактного поняття прямій лінії . Приблизно те ж можна сказати про інших основних геометричних поняттях. Практична діяльність людини служила основою тривалого процесу вироблення абстрактних понять, відкриття найпростіших геометричних залежностей та співвідношень.
Початок геометрії було покладено в давнину при вирішенні чисто практичних завдань. З часом, коли нагромадилася велика кількість геометричних фактів, у людей з'явилася потреба узагальнення, з'ясування залежності одних елементів від інших, встановлення логічних зв'язків і доказів. Поступово створювалася геометрична наука. Приблизно в VI - V ст. до н. е.. в Стародавній Греції в геометрії почався новий етап розвитку, що пояснюється високим рівнем, якого досягла суспільно-політичне і культурне життя в грецьких державах. Твори, що містять систематичний виклад геометрії, з'явилися в Греції ще в V до н.е., але вони були витіснені "Початками" Евкліда.
Геометричні знання приблизно в обсязі сучасного курсу середньої школи були викладені ще 2200 років тому в "Початках" Евкліда. Звичайно, викладена в "Початках" наука геометрія не могла бути створена одним вченим. Відомо, що Евклід у своїй роботі спирався на праці десятків попередників, серед яких були Фалес і Піфагор, Демокрит і Гіппократ, Архіт, Теетет, Евдокс та ін Ціною великих зусиль, виходячи з окремих геометричних відомостей, накопичених тисячоліттями в практичної діяльності людей, ці великі вчені зуміли протягом 3 - 4 століть привести геометричну науку до вищому щаблі досконалості. Історична заслуга Евкліда полягає в тому, що він, створюючи свої "Початки", об'єднав результати своїх попередників, упорядкував і привів в одну систему основні геометричні знання того часу. Протягом двох тисячоліть геометрія вивчалася в тому обсязі, порядку і стилі, як вона була викладена в "Початках" Евкліда. Багато підручники елементарної геометрії в усьому Світ представляли (а багато хто й досі представляють) собою лише переробку книги Евкліда. "Початки" протягом століть були настільною книгою найвидатніших учених.
У XVII в. Декарт завдяки методу координат зробив можливим вивчення властивостей геометричних фігур за допомогою алгебри. З цього часу почала розвиватися аналітична геометрія . У XVII - XVIII ст. зароджується і розробляється диференціальна геометрія , що вивчає властивості фігур за допомогою методів математичного аналізу. У XVIII-XIX ст. розвиток військової справи та архітектури привело до розробки методів точного зображення просторових фігур на плоскому кресленні, у зв'язку з чим з'являються нарисна геометрія , наукові основи якої заклав французький математик Г. Монжа, і проективна геометрія , основи якої були створені в працях французьких математиків Д. Дезарга і Б. Паскаля (XVII в.). В її створенні найважливішу роль зіграв інший французький математик - Ж. В. Понселе (XIX в.).
Корінний перелом в геометрії вперше зробив у першій половині ХIХ в. великий російський математик Микола Іванович Лобачевський, який створив нову, неевклідову геометрію , звану нині геометрією Лобачевського.
Відкриття Лобачевського було початком нового періоду в розвиток геометрії. За ним пішли нові відкриття німецького математика Б. Рімана та ін
В даний час геометрія тісно переплітається з багатьма іншими розділами математики. Одним із джерел розвитку та утворення нових понять в геометрії, як і в інших областях математики, є сучасні завдання природознавства, фізики і техніки.
Первісне поняття про многогранниках.
Багатогранники і їх елементи.
Проблеми нам створюють не ті речі,
яких ми не знаємо, а ті, про яких ми
помилково вважаємо, що знаємо.
В. Роджерс
Визначення. багатогранника називається тіло, поверхня якого є об'єднанням кінцевого числа багатокутників.
В Відповідно до загальним визначенням опуклого безлічі, багатогранник є опуклим [1] , якщо разом з будь-якими двома своїми точками він містить з'єднує їх відрізок. На малюнку показані опуклий і, відповідно, неопуклого многогранники.
Багатокутник, приналежний поверхні багатогранника, називається його гранню , якщо він не міститься ні в якому іншому багатокутнику, також належить поверхні багатогранника.
Сторони граней називаються ребрами багатогранника, а вершини - вершинами багатогранника.
Відрізки, з'єднують вершини багатогранника, не належать одній грані, називаються діагоналями цього багатогранника.
Визначення . Багатогранник називається правильним , якщо всі його грані - рівні правильні багатокутники і з кожної його вершини виходить однакове число ребер.
Грані
Вершини
Ребра
Тетраедр
4
4
6
Куб
6
8
12
октаедра
8
6
12
додекаедр
12
20
30
ікосаедра
20
12
30
Призма n -вугільна
2n
3n
n +2
Піраміда n -вугільна
n +1
2n
n +1
Теорема Ейлера.
Для числа граней Г, числа вершин В і числа ребер Р будь-якого опуклого багатогранника справедливе співвідношення:
Г + В - Р = 2
Принцип Кавальєрі:
Якщо два тіла можуть бути розташовані так, що будь-яка площина, паралельна небудь даної площині і перетинає обидва тіла, дає в перетині з ними рівно...
