Поверхні другого порядку » Українські реферати
Теми рефератів
Авіація та космонавтика Банківська справа Безпека життєдіяльності Біографії Біологія Біологія і хімія Біржова справа Ботаніка та сільське гос-во Бухгалтерський облік і аудит Військова кафедра Географія
Геодезія Геологія Держава та право Журналістика Видавнича справа та поліграфія Іноземна мова Інформатика Інформатика, програмування Історія Історія техніки Комунікації і зв'язок Краєзнавство та етнографія Короткий зміст творів Кулінарія Культура та мистецтво Культурологія Зарубіжна література Російська мова Маркетинг Математика Медицина, здоров'я Медичні науки Міжнародні відносини Менеджмент Москвоведение Музика Податки, оподаткування Наука і техніка Решта реферати Педагогіка Політологія Право Право, юриспруденція Промисловість, виробництво Психологія Педагогіка Радіоелектроніка Реклама Релігія і міфологія Сексологія Соціологія Будівництво Митна система Технологія Транспорт Фізика Фізкультура і спорт Філософія Фінансові науки Хімія Екологія Економіка Економіко-математичне моделювання Етика Юриспруденція Мовознавство Мовознавство, філологія Контакти
Українські реферати та твори » Математика » Поверхні другого порядку

Реферат Поверхні другого порядку

Категория: Математика

Зміст.

В· Поняття поверхні другого порядку.

1 . Інваріанти рівняння поверхні другого порядку.

В· Класифікація поверхонь другого порядку.

1. Класифікація центральних поверхонь.

Г„ 1 В°. Еліпсоїд.

Г„ 2 В°. Однополостного гіперболоїд.

Г„ 3 В°. Двопорожнинні гіперболоїд.
Г„ 4 В°. Конус другого порядку.

2. Класифікація нецентральних поверхонь.

Г„ 1 В°. Еліптичний циліндр, гіперболічний циліндр, еліптичний параболоїд, гіперболічний параболоїд.

Г„ 2 В°. Параболічний циліндр

• Дослідження форми поверхонь другого порядку по їх канонічним рівнянням.

1. Еліпсоїд.
2. Гіперболоїди.

Г„ 1 В°. Однополостного гіперболоїда.

Г„ 2 В°. Двопорожнинні гіперболоїд.

3. Параболоїди.

Г„ 1 В°. Еліптичний параболоїд.
Г„ 2 В°. Гіперболічний параболоїд.

4 . Конус і циліндри другого порядку.

Г„ 1 В°. Конус другого порядку.
Г„ 2 В°. Еліптичний циліндр.
Г„ 3 В°. Гіперболічний циліндр.
Г„ 4 В°. Параболічний циліндр.

Список використаної літератури.




1. В«Аналітична геометрія В»В.А. Ільїн, Є.Г. Позняк

В§ 1. Поняття поверхні другого порядку.

Поверхня другого порядку - геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду

a 11 х 2 + а 22 у 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2 a 23 уz + 2a 13 xz + 2а 14 x + 2а 24 у +2 а 34 z + а 44 = 0 (1)

в якому принаймні один з коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 , a 12 , a 23, a 13 відмінний від нуля.

Рівняння (1) ми будемо називати загальним рівнянням поверхні другого порядку .

Очевидно, поверхню другого порядку, розглянута як геометричний об'єкт, не змінюється, якщо від даної декартовой прямокутної системи координат перейти до іншої декартовій системі координат. Відзначимо, що вихідне рівняння (1) і рівняння, отримане після перетворення координат, алгебраїчно еквівалентні.


1 . Інваріанти рівняння поверхні другого порядку.

Справедливо наступне твердження.

є інваріантами рівняння (1) поверхні другого-порядку щодо перетворень декартової системи координат.

Доказ цього твердження наведено у випуску В«Лінійна алгебраВ» справжнього курсу.

В§ 2. Класифікація поверхонь другого порядку

1. Класифікація центральних поверхонь. Нехай S - центральна поверхню другого порядку. Перенесемо початок координат в центр цієї поверхні, а потім виробимо стандартне спрощення рівняння цієї поверхні. У резуль-Таті зазначених операцій рівняння поверхні прийме вид

a 11 х 2 + а 22 у 2 + a 33 z 2 + а 44 = 0 (2)

Так як інваріант I 3 для центральної поверхні різниться від нуля і його значення, обчислене для рівняння (2), одно a 11 • а 22 • a 33 , то коефіцієнти a 11 , а 22 , a 33 задовольняють умові :


Можливі наступні випадки:

Г„ 1 В°. Коефіцієнти a 11 , а 22 , a 33 одного знака, а коефіцієнт < i> а 44 відмінний від нуля . У цьому випадку поверхня S називається еліпсоїдом.

Якщо коефіцієнти a 11 , а 22 , a 33 , а 44 одного знака, то ліва частина ( 2) ні при яких значеннях х, у, z не звертається в нуль, тобто рівняння поверхні S не задовольняють координати жодної точки. У цьому випадку поверхня S називається уявним еліпсоїдом .

Якщо знак коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 протилежний знаку коефіцієнта а 44 , то поверхня S називається речовим еліпсоїдом . В Надалі терміном В«еліпсоїдВ» ми будемо називати лише речовинний еліпсоїд.

Зазвичай рівняння еліпсоїда записують у канонічній формі. Очевидно, числа

позитивні. Позначимо ці числа відповідно а 2 , b 2 , з 2 . Після не-складних перетворень рівняння еліпсоїда (2) можна записати в наступній формі:

Рівняння (3) називається канонічним рівнянням еліпсоїда .

Якщо еліпсоїд заданий своїм канонічним рівнянням (3), то осі Ох, Оу і Оz . називаються його головними осями.

Г„ 2 В°. З чотирьох коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 , а 44 два одного знака, а два інших-протилежного. У цьому випадку поверхню S називається однополостного гіперболоїда .

Зазвичай рівняння однополостного гіперболоїда записують в канонічній формі. Нехай, заради визначеності, a 11 > 0, а 22 > 0, a 33 <0, а 44 <0. Тоді числа

позитивні. Позначимо ці числа відповідно а 2 , b 2 , з 2 . Після нескладних перетворень рівняння (2) однополостного гіперболоїда можна записати в такою формою:

Рівняння (4) називається канонічним рівнянням однополостного гіперболоїда .

Якщо однополостного гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням (4), то осі Ох, Оу і Oz називаються його глав-нимі осями.

Г„ 3 В° . Знак одного з перших трьох коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 , а 44 протилежний знаку решти коефіцієнтів. В цьому випадку поверхня S називається двопорожнинні гіперболоїдом.

Запишемо рівняння двопорожнинні гіперболоїда в Каноничі-ської формі. Нехай, заради визначеності, a 11 <0, а 22 < 0, a 33 > 0, а 44 <0. Тоді:

Позначимо ці числа відповідно через a 2 , b 2 , з 2 . Поcле нескладних перетворень рівняння (2) двопорожнинні гіперболоїда можна записати в наступній формі:

Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двопорожнинні гіперболоїда .

Якщо двопорожнинні гіперболоїд заданий своїм канонічним

рівнянням, то осі Ох, Оу і Оz називаються його ...


Страница 1 из 3Следующая страница

Друкувати реферат
Замовити реферат
Товары
Наверх Зворотнiй зв'язок