Зміст.
В· Поняття поверхні другого порядку.
1 . Інваріанти рівняння поверхні другого порядку.
В· Класифікація поверхонь другого порядку.
1. Класифікація центральних поверхонь.
Г„ 1 В°. Еліпсоїд.
Г„ 2 В°. Однополостного гіперболоїд.
Г„ 3 В°. Двопорожнинні гіперболоїд.
Г„ 4 В°. Конус другого порядку.
2. Класифікація нецентральних поверхонь.
Г„ 1 В°. Еліптичний циліндр, гіперболічний циліндр, еліптичний параболоїд, гіперболічний параболоїд.
Г„ 2 В°. Параболічний циліндр
• Дослідження форми поверхонь другого порядку по їх канонічним рівнянням.
1. Еліпсоїд.
2. Гіперболоїди.
Г„ 1 В°. Однополостного гіперболоїда.
Г„ 2 В°. Двопорожнинні гіперболоїд.
3. Параболоїди.
Г„ 1 В°. Еліптичний параболоїд.
Г„ 2 В°. Гіперболічний параболоїд.
4 . Конус і циліндри другого порядку.
Г„ 1 В°. Конус другого порядку.
Г„ 2 В°. Еліптичний циліндр.
Г„ 3 В°. Гіперболічний циліндр.
Г„ 4 В°. Параболічний циліндр.
Список використаної літератури.
1. В«Аналітична геометрія В»В.А. Ільїн, Є.Г. Позняк
В§ 1. Поняття поверхні другого порядку.
Поверхня другого порядку - геометричне місце точок, декартові прямокутні координати яких задовольняють рівнянню виду
a 11 х 2 + а 22 у 2 + a 33 z 2 + 2a 12 xy + 2 a 23 уz + 2a 13 xz + 2а 14 x + 2а 24 у +2 а 34 z + а 44 = 0 (1)
в якому принаймні один з коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 , a 12 , a 23, a 13 відмінний від нуля.
Рівняння (1) ми будемо називати загальним рівнянням поверхні другого порядку .
Очевидно, поверхню другого порядку, розглянута як геометричний об'єкт, не змінюється, якщо від даної декартовой прямокутної системи координат перейти до іншої декартовій системі координат. Відзначимо, що вихідне рівняння (1) і рівняння, отримане після перетворення координат, алгебраїчно еквівалентні.
1 . Інваріанти рівняння поверхні другого порядку.
Справедливо наступне твердження.
є інваріантами рівняння (1) поверхні другого-порядку щодо перетворень декартової системи координат.
Доказ цього твердження наведено у випуску В«Лінійна алгебраВ» справжнього курсу.
В§ 2. Класифікація поверхонь другого порядку
1. Класифікація центральних поверхонь. Нехай S - центральна поверхню другого порядку. Перенесемо початок координат в центр цієї поверхні, а потім виробимо стандартне спрощення рівняння цієї поверхні. У резуль-Таті зазначених операцій рівняння поверхні прийме вид
a 11 х 2 + а 22 у 2 + a 33 z 2 + а 44 = 0 (2)
Так як інваріант I 3 для центральної поверхні різниться від нуля і його значення, обчислене для рівняння (2), одно a 11 • а 22 • a 33 , то коефіцієнти a 11 , а 22 , a 33 задовольняють умові :
Можливі наступні випадки:
Г„ 1 В°. Коефіцієнти a 11 , а 22 , a 33 одного знака, а коефіцієнт < i> а 44 відмінний від нуля . У цьому випадку поверхня S називається еліпсоїдом.
Якщо коефіцієнти a 11 , а 22 , a 33 , а 44 одного знака, то ліва частина ( 2) ні при яких значеннях х, у, z не звертається в нуль, тобто рівняння поверхні S не задовольняють координати жодної точки. У цьому випадку поверхня S називається уявним еліпсоїдом .
Якщо знак коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 протилежний знаку коефіцієнта а 44 , то поверхня S називається речовим еліпсоїдом . В Надалі терміном В«еліпсоїдВ» ми будемо називати лише речовинний еліпсоїд.
Зазвичай рівняння еліпсоїда записують у канонічній формі. Очевидно, числа
позитивні. Позначимо ці числа відповідно а 2 , b 2 , з 2 . Після не-складних перетворень рівняння еліпсоїда (2) можна записати в наступній формі:
Рівняння (3) називається канонічним рівнянням еліпсоїда .
Якщо еліпсоїд заданий своїм канонічним рівнянням (3), то осі Ох, Оу і Оz . називаються його головними осями.
Г„ 2 В°. З чотирьох коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 , а 44 два одного знака, а два інших-протилежного. У цьому випадку поверхню S називається однополостного гіперболоїда .
Зазвичай рівняння однополостного гіперболоїда записують в канонічній формі. Нехай, заради визначеності, a 11 > 0, а 22 > 0, a 33 <0, а 44 <0. Тоді числа
позитивні. Позначимо ці числа відповідно а 2 , b 2 , з 2 . Після нескладних перетворень рівняння (2) однополостного гіперболоїда можна записати в такою формою:
Рівняння (4) називається канонічним рівнянням однополостного гіперболоїда .
Якщо однополостного гіперболоїд заданий своїм канонічним рівнянням (4), то осі Ох, Оу і Oz називаються його глав-нимі осями.
Г„ 3 В° . Знак одного з перших трьох коефіцієнтів a 11 , а 22 , a 33 , а 44 протилежний знаку решти коефіцієнтів. В цьому випадку поверхня S називається двопорожнинні гіперболоїдом.
Запишемо рівняння двопорожнинні гіперболоїда в Каноничі-ської формі. Нехай, заради визначеності, a 11 <0, а 22 < 0, a 33 > 0, а 44 <0. Тоді:
Позначимо ці числа відповідно через a 2 , b 2 , з 2 . Поcле нескладних перетворень рівняння (2) двопорожнинні гіперболоїда можна записати в наступній формі:
Рівняння (5) називається канонічним рівнянням двопорожнинні гіперболоїда .
Якщо двопорожнинні гіперболоїд заданий своїм канонічним
рівнянням, то осі Ох, Оу і Оz називаються його ...