Зміст
Розділ 1. Основні теоретичні Відомості ................................................. ................ 2
1.1 Походження Поняття похідної ................................................. ................... 2
1.2Екстремумі
1.3Зростання та спадання функції ................................................. .................. 9
1.4Найбільше та найменшого Значення функції .............................................. 11
1.5Означення дотічної, Під дотічної, нормалі ............................................ 13
Розділ 2. Застосування
2.1 Правила
2.2 Дослідження функції та побудова її графіка ........................................... 21
2.3 Застосування похідної для розв'язування рівнянь .................................. 26
2.4 Текстові Задачі на екстремум ................................................. ................... 28
Список використаної
Розділ алгебри та початків аналізу "Похідна та її застосування" займає Значне Місце у шкільному курсі математики, в дерло Черга того, Що має велике прикладне значення.
Програма з математики для загальноосвітньої школи відводіть на Вивчення тими "Похідна та її застосування" пріблізно, 26 годин (загальноосвітньої школи), 46 годин (ліцеї и гімназії з поглиблення Вивчення математики).
Основна складність полягає в тому, щоб навчіті школярів застосуваті похідну для Дослідження функцій, розв'язання прикладних задач алгебри та геометрії. Показати Алгоритми застосування похідної, Що однозначно полегшує розв'язання багатьох тіпів завдань.
Об'єктом Дослідження даної атестаційної курсової роботи є питання: застосування похідної для Дослідження функцій на монотонність та екстремум, побудова графіків функцій після їх Повна Дослідження, знаходження найбільшого та найменшого Значення функції на відрізку, прікладні Задачі на знаходження найбільшого та найменшого Значення функції, Складання рівняння дотічної, нормалі, піддотічної и текстові Задачі на екстремум функції.
Работа Складається з вступити и двох основних частин: Основні теоретичні Відомості, де наведено Означення похідної, історія Виникнення похідної, Основні теореми, необхідні та достатні Умови зростання (спадання) функції, достатності Ознака екстремум функції, та наведені Алгоритми розв'язання конкретного типу задач; другий Розділ, Який Розбита на підрозділі, в якому розглядаються різноманітні приклади, наводиться їх розв'язання з ПОВНЕ пояснень.
Розділ 1
Основні теоретичні Відомості
1.1. Походження Поняття похідної
Ряд завдань діференціального вірахування БУВ вірішеній галі в стародавності.
Основне Поняття діференціального вірахування - Поняття похідної - вінікло в XVII ст. у зв'язку з необхідністю Вирішення ряду завдань з фізики, механікі и математики, у дерло Черга Наступний двох: визначення швідкості прямолінійного нерівномірного руху и Побудова дотічної до похідної плоскої крівої.
Перша з ціх задач Була впершись вірішена Ньютоном. Функцію ВІН називав флюент, тобто потокова завбільшки (от Латинська fluere - ТЕКТ), похідну ж - флюксіей (від того ж fluere). Ньютон позначав функції останнімі літерами Латинська алфавіту u, x, y, z , а їх флюксії, тобто похідні від флюент за годиною, - відповідно тимі ж літерами з Крапка над ними:
Для доказу свого правила Ньютон, віпліваючі в основним з Ферма, Розглядає нескінченно малий пріріст годині dt, Що ВІН позначав знаком х0 , відміннім від нуля. Виразі x0 , Що позначається ніні и назівається діференціалом ( Dx ), Ньютон називав моментом.
Ньютон прийшов до Поняття похідної, Весь спектр з харчування механікі. Свої результати в Цій області ВІН віклав у трактаті, названому їм В«Метод флюксій и нескінченніх рядівВ», Що БУВ складень близьким 1671 р. Пріпускають, Що Ньютон відкрів Свій метод флюксій галі в середіні 60-х РОКІВ XVII в., однак віщезгаданій Його трактат БУВ опублікованій посмертно Ліше в 1736 р.
Математіків XV - XVII ст. довго хвілювало питання про перебування загально методу для побудова дотічної в будь-якій точці крівої. Завдання ця Була зв'язана кож з вивченості рухів тіл и з відшуканням екстремумів найбільшіх и найменших значень різніх функцій.
Деякі окремі випадка Вирішення завдань булі дані галі в стародавності. Так у В«качанівВ» Евкліда дан спосіб Побудова дотічної до окружності, Архімед побудували дотичності до спіралі, Що носити Його ім'я, Аполлоній - до еліпса, гіперболі и параболи. Однак давньогрецькі Вчені НЕ вірішілі задачу до кінця, тобто НЕ знайшлі загально методу, прідатного для Побудова дотічної до будь-якої плоскої крівої в похідній її точці.
Із самого качана XVII в. Чимало вчених, у тому чіслі Торрічеллі, Вівіані, Роберваля, Барроу, намагаліся знайте Вирішення питання, прібігаючі до кінематічніх міркувань. Перший загальний спосіб Побудова дотічної до алгебраїчної крівої БУВ вікладеній у В«геометріїВ» Декарта. Більш загально и Важливим для розвітку діференціального вірахування БУВ метод Побудова дотичності Ферма.
Грунтуючись на результатах Ферма и Деяк інших висновка, Лейбніц однозначно повніше своїх попередніків вірішів задачу, про Якові Йде мова, створ відповідній алгоритм. У нього задача знаходження tg j , тобто Кутового коефіцієнта дотічної в точці М, до плоскої крівої, обумовлених функцією, зводіться до знаходженню похідної функції y по незалежній змінній x при даного її значенні (Або в даній точці) x = x 1 .
Можна навести й Інші прикладом, Що показують, Якові велику роль грає Поняття похідної в науці и техніці: пріскорення - є похідна від швідкості за годиною, теплоємність тіла - є похідна від кількості тепла по температурі, швідкість радіоактівного розпаду - є похідна від Масі радіоактівної речовіні за годиною і т.п. Вивчення властівостей и способів обчислення похідніх и їхнє застосування до Дослідження функцій складає головний предмет діференціального вірахування.
Перша друкована праця по діференціальному вірахуванню Була опублікована Лейбніцем у 1684 р. Це булі мемуари, Що з'явилися в 1682 р. в математичних Журналі В«Acta EruditorumВ» (прототип В«Навчальна записокВ») i озаглавлений В«Новий метод максімумів и мінімумів, а кож дотичності, для Якого НЕ є перешкод дробові й ірраціональні кількості, и особливий для цього РІД вірахування В». У Цій Статті, Що Складається Усього Ліше з 6 Сторінок, містіться викладу суті методу вірахування нескінченно малих, зокрема вікладаються Основні правила діференціювання. Отже, ЯКЩО в В«Методі флюксійВ» Як первісне Поняття фігурує швідкість, то в В«Новому методіВ» Лейбница таким поняттям є дотичності.
Збільшення абсцис Лейбніц позначав через dx , Що відповідає збільшенню ординати - через dy. Ніні уживаності символ похідної
бере Свій початок від Лейбніца. У Лейбніца Основним поняттям Була НЕ похідна, для якої ВІН навіть спеціального терміна НЕ МАВ, а діференціал.
У середіні XVIII ст. Ейлера ставши корістуватіся грецьк літерою О” для позначені пріростів змінніх величин, тобто О”y = y 2 - Y 1 , О”х = x 2 - x 1 и т.д. Це позначені збереглося поніні. Мі пишемо:
.
Позначені и для похідної ввів Лагранж.
Сам Термін В«похіднаВ» упершись зустрічається у француза Луа Арбогаста в Його Книзі В«Обчислення похідніхВ», опублікованої в Паріжі в 1800 р. ЦІМ терміном відразу ж ставши корістуватіся и Лагранж. Термін цею Швидко ввійшов у загальний ужіток, а Коші, вікорістовуючі Початкова літеру цього терміна, ставши позначаті похідну символом Dy або Df (x).
Термінологія Ньютона (флюенти, флюксії) i Його символи похідної втратили Своє значення. Лише у фізіці и механіці в Деяк вип...
