Міністерство загальної та професійної освіти
Російської Федерації
!!!!!! Державний університет
Імені Ярослава Мудрого.
Кафедра В«Прикладна математика та інформатикаВ».
Реферат
ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЧИСЕЛ у вигляді суми двох
КВАДРАТОВ І У ВИГЛЯДІ
Викладач:
Неустроєв Н.В.
Студент групи № 3311
Russo Fascisto
!!!!!!!!!!
2004
план:
ВСТУП 3
ТЕОРЕМА ФЕРМА-Ейлера 5
Доказ (Лагранжа) 5
Единственность представлення простого
числа у вигляді суми двох квадратів 6
кількість подань ЧИСЛА у вигляді суми двох
квадратів 8
ПРЕДСТАВЛЕННЯ ЧИСЛА У ВИГЛЯДІ 9
ВИСНОВОК 11
ЛІТЕРАТУРА 12
ВСТУП Бути може, потомство буде вдячне мені за те, що я показав йому, що Древні знали не всі.
П'єр Ферма Лише один математик удостоївся того, що ім'я його стало загальним. Якщо вимовляється слово "ферматист", значить, мова йде про людину, одержимого до безумства якийсь незбутньою ідеєю. Але це слово ні в якій мірі не може бути віднесено до самого П'єру Ферма (1601 - 1665), одного з найбільш світлих умів Франції. Ферма - людина дивовижної долі: один з найвидатніших математиків всіх часів, він не був, в сучасній термінології, "професійним" математиком. За професії Ферма був юристом. Він отримав чудове гуманітарну освіту і був видатним знавцем мистецтва і літератури. Все життя він пропрацював на державній службі, останні 17 років був радником місцевого парламенту в Тулузі. До математиці його вабила безкорислива і піднесена любов (це іноді трапляється з людьми), і саме ця наука дала йому все, що може дати людині любов: захоплення красою, насолоду і щастя. У ті роки не було ще математичних журналів, і Ферма майже нічого не надрукував за життя. Але він багато листувався зі своїми сучасниками, і за допомогою цієї листування деякі його досягнення ставали відомими. П'єру Ферма пощастило з дітьми: син обробив архів батька і видав його. "Я довів багато виключно красивих теорем ", - сказав якось Ферма. Особливо багато красивих фактів вдалося йому виявити в теорії чисел, яку, власне, він і заснував. В паперах і в листуванні Ферма було сформульовано чимало чудових тверджень, про які він писав, що розташовує їх доказом. І поступово, рік за роком, таких недоведених тверджень ставало все менше і менше. І нарешті, залишилося тільки одне. Добре відомо, що квадрати деяких чисел можна розкласти в суму двох квадратів. Такий єгипетський трикутник зі сторонами 3, 4 і 5: 3 2 +4 2 = 5 2 . Можна описати всі цілочисельні рішення рівняння x 2 + y 2 = z 2 . Це було зроблено Диофантом, грецьким математиком, який жив (ймовірно) в III столітті нашої ери, у другій книзі його трактату "Арифметика" (до нас дійшли 6 книг з 13). На полях близько рішення Диофанта Ферма написав: "Не можна розкласти куб на два куби, ні Квадрат-квадрат (тобто четверту ступінь числа) на два квадрати-квадрата, ні взагалі ніяку ступінь вище квадрата і до безкінечності не можна розкласти на дві ступеня з тим же показником. Я відкрив цьому воістину чудесний доказ, але ці поля для нього занадто вузькі ". Інакше кажучи, рівняння x n + y n = z n при натуральному n> 2 в цілих числах нерозв'язною.
В паперах Ферма було знайдено доказ цього твердження для n = 4 (це єдине докладний доказ теореми з теорії чисел, виявлене в паперах Ферма). Для n = 3 теорему Ферма довів Ейлер в 1768 році. Протягом XIX століття для доведення теореми Ферма було вжито величезні зусилля. Особливих успіхів домігся німецький математик Куммер. Після його робіт теорема Ферма виявилася доведеною для всіх простих n (а довести її тільки для них), менших 100, крім 37, 59 і 97. У нашому столітті теорема Ферма була доведена для простих чисел, менших 100,000 , але остаточне рішення так і не було знайдено.
У 1908 році любитель математики Вольфскель заповідав 100,000 марок тому, хто доведе теорему Ферма. Це стало лихом для математиків багатьох країн. Потекли сотні і тисячі листів з доказами теореми Ферма. Як правило, вони містили елементарні помилки, але на їхнє знаходження витрачалися чималі сили багатьох математиків.
Під час Першої світової війни ця премія знецінилася. Потік псевдодоказательств скоротився, але не вичерпався.
І вже здавалося, що ця проблема перейде через нову грань століть, але все-таки п'ять років тому англійський математик Уайлс "залатав останню діру" в своєму доказі цієї великої теореми, з яким він вперше з'явився перед математичним світом в 1993 році.
Світ визнав: Велика теорема Ферма доведено!
Однак, тим, хто цікавиться математикою, ім'я Ферма говорить дуже багато незалежно від його Великої теореми. Він був, без жодного сумніву, одним з найбільш проникливих умів свого часу - часу Гігантів. Його по праву вважають основоположником теорії чисел, він зробив величезний внесок у зароджуються нові напрямки, що визначили подальший розвиток науки: математичний аналіз, аналітичну геометрію. Ми вдячні Ферма за те, що він прочинив для нас світ, сповнений краси і загадковості.
ТЕОРЕМА ФЕРМА-Ейлера
Наступна теорема, безсумнівно, належить до вищих досягнень математики XVII - XVIII століть.
Погляньте на кілька перших непарних простих чисел:
3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
Числа 5, 13, 17 представимо у вигляді суми двох квадратів: 5 = 2 2 +1 2 , 13 = 2 2 +3 2 , 17 = 1 2 +4 2 , а інші числа (3, 7, 11, 19) цією властивістю не володіють. Чи можна пояснити цей феномен? Відповідь на це питання дає наступна теорема:
Теорема : Для того, щоб непарне просте число було представимо у вигляді суми двох квадратів, необхідно і достатньо, щоб воно при діленні на 4 давало в залишку 1.
Доказ (Лагранжа)
Це доказ спирається на наступну лему Вільсона : якщо p --- Просте число, то число (p-1)! +1 ділиться на p .
Щоб не відволікатися на доказ цього допоміжного факту, продемонструю лише основну ідею цього докази на прикладі простого числа 13. Для будь-якого числа x , 2 x 11 , знайдеться таке число y , 2 y 11 , що x * y при діленні на 13 дае в залишку 1. Дійсно,
(13-1)! = 12! = (2 * 7) (3 * 9) (4 * 10) (5 * 8) (6 * 11) * 12,
і при цьому всі твори в дужках при діленні на 13 дають в залишку 1, а значить, 12! при діленні на 13 дасть в залишку 12 , звідки (для обраного нами числа 13 ) слід твердження леми Вільсона.
З леми Вільсона витягнемо таке слідство: якщо p = 4n +1 , де n --- натуральне число, то ((2n)!) 2 +1 ділиться на p . Дійсно, з леми Вільсона слід, що (4n)! +1 ділиться на p , і тепер необхідне твердження випливає з наступної викладки:
(4n)! +1 = (2n)! (2n +1) * ... * (4n) +1 =
= (2n)! (P-2n) (p-2n-1) * ... * (p-1) +1 =
= (2n)...
