Міністерство загальної та професійної освіти
Астраханський Державний Педагогічний Університет
Бакалаврська робота
Студентки IV курсу фізико-математичного факультету
Ночевнов Світлани Павлівни
Кафедра:
Математичного аналізу
Тема:
Основні поняття диференціального обчислення і історія їх розвитку
Науковий керівник
ст. викладач
Пономарьова Н.Г.
Астрахань
1998
План.
Основні поняття диференціального обчислення функцій однієї змінної.
Визначення похідної і її геометричний сенс.
Диференціальні функції. Визначення диференціала.
Інваріантність форми першого диференціала.
Диференціал суми, добутку і приватного.
Геометрична інтерпретація диференціала.
Основні поняття інтегрального обчислення функцій однієї змінної.
Первообразная функція і невизначений інтеграл.
Геометричний сенс невизначеного інтеграла.
Основні властивості невизначеного інтеграла.
Метод безпосереднього інтегрування.
Метод заміни змінної (Спосіб підстановки).
Інтегрування по частинах.
Певний інтеграл як межа інтегральної суми.
Основні властивості певного інтеграла.
Геометричний сенс певного інтеграла.
Теорема Ньютона-Лейбніца.
Формула Ньютона-Лейбніца.
Заміни змінних в певних інтегралах.
Інтегрування по частинах.
Історичні відомості про виникненні і розвитку основних понять.
Походження поняття визначеного інтеграла і інфінітезімальних методи Архімеда.
Від Архімеда до Кеплеру і Кавальєрі.
Теорема Паскаля.
В«Про глибоку геометрії В» Лейбніца.
В«Метод флюксійВ» Ньютона.
Диференціальні методи.
Мета роботи: В«Вивчити основні поняття диференціального і інтегрального числень і ознайомитися з історією їх розвитку В».
1.Основні поняття диференціального обчислення функцій однієї змінної.
1.1.Определеніе похідної і її геометричний сенс.
Нехай функція y = f ( х ) визначена в околиці точки х про . візьмемо точку х 1 цій околиці, відмінну від х про .
Визначення. Різниця х 1 - х 0 , яку позначають символом пЃ„ х , будемо називати прирощенням незалежної змінної.
Визначення . Подібним чином відповідна різниця
у 1 - у 0 = f ( х 1 ) - F ( х 0 ), позначається символом пЃ„ у і називається прирощенням залежної змінної, або прирощенням функції.
Виходять наступні співвідношення:
х 1 = х 0 + пЃ„ х ,
у 1 = у 0 + пЃ„ у ,
у 0 + пЃ„ у = f ( х 0 + пЃ„ х )
Так як у 0 = f ( х 0 ),
то пЃ„ у = f ( х 0 + пЃ„ х ) - F ( х 0 ).
пЃ„ у f ( х 0 + пЃ„ х ) - f ( х 0 )
пЃ„ х пЃ„ х
Визначення . Приватне будемо називати різницевим ставленням.
Вираз f ( х 0 )
пЃ„ х
(Приймаючи що х 0 має певне постійне значення) можна вважати функцією прирощення пЃ„ х .
Визначення. Якщо межа цього виразу при пЃ„ х , прагнучому до нуля, існує, то його ми будемо називати похідної функції у = f ( х ) по х в точці х 0
Отже, == F ' ( х 0 ) = У ' х = У '=
Приклад. у = х 2 . Обчисліть похідну для х = 2.
Маємо: f ( х + пЃ„ х ) = ( Х + пЃ„ х ) 2 ,
Тому пЃ„ у = ( Х + пЃ„ х ) 2 - Х 2 = 2 х пЃ„ х + ( пЃ„ х) < sup> 2
Звідси = 2 х + пЃ„ х
Переходячи до межі отримаємо: = 2 х + = 2 х .
Для того, щоб відношення мало межа, необхідно, щоб, тобто, щоб функція рис.1
була безперервною в точці х 0 .
Розглянемо графік функції у = f ( х ) (Рис.1)
Легко помітити, що відношення одно тангенсу кута пЃЎ , утвореного позитивним напрямком січної, що проходить через точки А і В (відповідні точкам х і х + пЃ„ х ), з позитивним напрямком осі О х, тобто, від А до В якщо тепер прирощення пЃ„ х буде прагнути до нуля, точка У прагнутиме до А, то кут пЃЎ буде прагнути до пЃі , освіченій позитивним напрямком дотичної з позитивним напрямком осі О х, а tg пЃЎ буде прагнути до tg пЃі .
Тому = Tg пЃі (Позитивним напрямком дотичної вважаємо те напрямок, в якому х зростає).
Таким чином, можна стверджувати наступне:
Похідна в даній точці х дорівнює тангенсу кута, утвореного позитивним напрямком дотичної у відповідній точці ( х , f ( х )) нашої кривої з позитивним напрямком осі О х .
1.2 Диференціальні функції. Визначення диференціала.
Визначення. Функція у = F ( х ) називається диференційованої в точці х, якщо її прирощення пЃ„ у в цій точці можна представити у вигляді
пЃ„ у =
де пЃЎ ( пЃ„ х ) = 0
Як видно з з визначення, необхідним умовою дифференцируемости є існування похідної. Виявляється що це умова також і досить. У самому справі нехай існують у '= f' ( х )
Покладемо - F ' ( х ), пЃ„ х п‚№ 0
, пЃ„ х = 0
При такому визначенні пЃЎ має для всіх пЃ„ х
пЃ„ у = F ' ( х ) пЃ„ х + пЃЎ ( пЃ„ х ) пЃ„ х .
Залишається, отже, встановити безперервність пЃЎ ( пЃ„ х ) при пЃ„ х = 0, тоб...
