Сиктивкарський державний університет
Кафедра математичного аналізу
Методичні вказівки по курсом "Математика"
для студентів I курсу історичного факультету
(заочне відділення)
Викладач Попова Н.А.
Сиктивкар 2001
Навчальний план за курсом "Математика"
для I курсу історичного факультету (Заочне відділення)
на 2001-02 навч.рік викладача Попової Н.А.
I семестр. Лекції (4:00)
Короткий історичний нарис розвитку математики. Огляд літератури.
Множини, елементи комбінаторики, введення в теорію ймовірностей і математичну логіку, знайомство з графами.
Консультація (1:00). Методичні вказівки до виконанню контрольної роботи.
Завдання для самостійної роботи :
Контрольна робота (5 завдань. Див. додаток 1).
Підготовка (Написання) реферату з обраній темі (Список тем - додаток 2).
II семестр. Практичні заняття (12 годин). Рішення задач.
Множини. Елементи комбінаторики.
Елементи теорії графів і математичної логіки.
Елементи теорії ймовірностей. Математичне очікування і дисперсія, їх застосування в математичній статистикою.
Функції і їх графіки.
Семінари.
5-6. Деякі питання історії розвитку математики (Основні віхи розвитку суспільства і розвитку математики).
Консультації (до заліку) - 13 годин.
Залік ставиться з урахуванням оцінок за:
контрольну роботу,
реферат (За індивідуальною темі),
участь в роботі практичних занять (загальна оцінка за 6 занять),
відповіді на питання заліку по двох частинам (2 питання, додаток 3).
Список основної літератури:
Ловягін Ю.Н., Матвєєва О.П. Математика. Навчальний посібник для студентів нематематичних спеціальностей. Ч.1. Диференціальне та інтегральне обчислення. Сикт-р. СГУ, 1998. 73 з. Ч.2. Теорія ймовірностей. Графи. СГУ, 1999. 64 с.
Матвєєв І.В. Функції та їх графіки. М. МДУ, 1970. 104 з.
Столл Р.Р. Безлічі. Логіка. Аксіоматичні теорії. М. Просвіта., 1968. 230 з.
Крамор В.С. Повторюємо і систематизуємо шкільний курс алгебри і початків аналізу. М. Просвітництво, 1990. 416 з.
Шіхановіч Ю.А. Введення в сучасну математику (Початкові поняття). М. Наука, 1965. 376 с.
Головач П.А. Введення в теорію графів. Сиктивкар. СГУ, 1993.
Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Введення в теорію ймовірностей. М. Фізматгіз, 1982. 160 с.
Колмогоров А.Н., Журбенко І.Т., Прохоров А.В. Введення в теорію ймовірностей. М. Фізматгіз, 1982.
Мендельсон Е. Введення в математичну логіку. М. Наука, 1984. 320 с.
Валуце І.І., Ділігул Г.Д. Математика для технікумів. Навчальний посібник. М. Наука, 1989. 576 з.
Стройк Д.Я. Короткий нарис історії математики. М. Наука, 1978. 336 з.
Рибніков К.А. Виникнення і розвиток математичної науки. Посібник для вчителя. М. Просвещение, 1987. 159 с.
Додаток 1.
Контрольна робота з математики
для I курсу історичного факультету СГУ (заочне відділення)
Завдання 1. (Множества. Комбінаторика.)
Скласти безлічі різних букв. А - свого повного імені, В - свого по батькові, З - свого прізвища.
Знайти об'єднання і перетин множин А і В.
Знайти доповнення до С до А і до А до С.
Перевірити на діаграмах, чи вірно рівність: .
Обчислити, скільки елементів має декартів твір множин А і В, зобразити їх точками площині.
Скільки різних абревіатур можна скласти з усіх букв безлічі С? У кожній з абревіатур використовувати кожну букву з безлічі З тільки по одному разу (Тобто без повторень).
Скільки різних трибуквених слів можна скласти з букв безлічі В, якщо слова складаються з різних букв (Без повторень)? Що собою являють набори букв цих слів - поєднання або розміщення?
Скільки різних підмножин (Всіх) має безліч А?
Приклад вирішення такої завдання. Нехай автор - Пафнутій Львович Чебишев (Будемо вважати е і е за одну і ту ж букву). Тоді
1) А = {П, А, Ф, Н, У, Т, І, Й}, В = {Л, Ь, В, О, І, Ч}, С = {Ч, Е, Б, И, Ш, В}.
2) = {П, А, Ф, Н, У, Т, І, Й, Л, Ь, В, О, Ч}. = {І}.
Т.к. пѓ† , то і .
{П, А, Ф, Н, У, Т, І, Й, У, Ч}.
{П, А, Ф, Н, У, Т, І, Й, У, Ч}.
Відповідь: Т.к. вийшло одне і те ж безліч, то рівність вірно.
5) . Ч
І
Про
В
Ь
Л
П А Ф Н У Т І Й
6) Так як абревіатури складаються з усіх букв безлічі С і без повторень, то їх кількість одно безлічі порядків на безлічі С: .
7) Т.к. при перестановці букв у слові виходять інші (нові) слова (наприклад, ЛОВ і ВІЛ), то набори букв для слів - це розміщення, тому важливий порядок вибрати літери. Всіх розміщень з букв безлічі В по 3 - . Але немає слів, починаються з літери "ь", тому такі набори треба виключити, їх кількість одно . Тоді різних трибуквених слів .
Відповідь: 100.
8) Т.к. , то кількість підмножин - .
Завдання 2 (Графи)
Нехай безліч А з попереднього завдання є безліч позначень вершин для побудови графів, тобто безлічі точок V.
Зобразити вершини графа точками, позначити їх і з'єднати ребрами так, щоб вийшов а) повний граф - , б) двочастковий граф - , в) повний двочастковий граф - , г) регулярний граф - (Вказати його ступінь), д) односвязного граф з одним "Мостом" - , е) непростій граф - (Т.е виконати не менше шести малюнків).
Знайти серед зображених графів а) Ейлером граф, б) полуейлеров граф, в) граф, має цикли (Якщо вони є на малюнках, підписати їх; якщо ні, то зобразити такі графи).
З множин А, В і С попередньої завдання вибрати безліч з найменшим числом букв (Елементів) і, вважаючи їх вершинами графа, зобразити всі можливі дерева з вершинами у всіх цих точках.
Наприклад.
b
a c повний граф з п'ятьма вершинами; він ж регулярний
(Однорідний), ступінь вершин r = 4; а також він Ейлером;
l d односвязного.
n двочастковий і двусвязний граф; (двочастковий -
m неповний).
l
k o
p q
s
t u непростий, односвязного з одним "мостом",
полуейлеров граф.
x v
z w
y
Завдання 3 (Теорія ймовірностей)
Візьмемо множини А і В із завдання 1. Нехай кожна з букв написана на окремій картці і множини А і В - це дві колоди карток (Всі картки покладені літерами вниз, їх не видно).
Обчислити ймовірність того, що при виборі навмання по одній картці з кожної колоди будуть вийняті а) 2 однакові букви; б) 2 різні букви; в) хоча б одна з літер така, яку Ви задумали заздалегідь (вкажіть, яку саме; якщо є різні варіанти рішення, то покажіть всі рішення).
Наприклад, ) А = {П, А, Ф, Н, У, Т, І, Й}, В = {Л, Ь,...
