На тему: В«Тіла ПлатонаВ»
В«Правильні многогранникиВ»
Виконав учень 10 В«АВ» класу Викладач Школи № 528 ЦАО м. Москви Сурін М. Н.
Савельєв К. А.
Москва 3.03.2024 рік
Тіла Платона
Правильні многогранники
Є в шкільної геометрії особливі теми, які чекаєш з нетерпінням, передчуваючи зустріч з неймовірно красивим матеріалом. До таких тем можна віднести "Правильні многогранники ". Тут не тільки відкривається дивовижний світ геометричних тіл, що володіють неповторними властивостями, але й цікаві наукові гіпотези. І тоді урок геометрії стає своєрідним дослідженням несподіваних сторін звичного шкільного предмета.
Ні одні геометричні тіла не володіють такою досконалістю і красою, як правильні многогранники. "Правильних багатогранників зухвало мало, - написав колись Л. Керолл, - але цей досить скромний по чисельності загін зумів пробратися в самі глибини різних наук ".
Яке ж це зухвало малу кількість і чому їх саме стільки. А скільки? Виявляється, рівно п'ять - ні більше ні менше. Підтвердити це можна за допомогою розгортки опуклого багатогранного кута. У самому справі, для того щоб отримати небудь правильний багатогранник згідно з його визначенням, в кожній вершині повинно сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним багатокутником. Сума плоских кутів багатогранного кута повинна бути менше 360 про , інакше ніякої багатогранної поверхні не вийде. Перебираючи можливі цілі рішення нерівностей: 60К <360, 90к <360 і 108К <360, можна довести, що правильних багатогранників рівно п'ять (до - число плоских кутів, що сходяться в одній вершині багатогранника), рис.1.
Назви правильних багатогранників прийшли з Греції. У дослівному перекладі з грецької "тетраедр", "Октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "Ікосаедр" означають: "чотиригранник", "Восьмигранник", "шестигранник". "Двенадцатигранник", "Двадцатигранник". Цим красивим тілам присвячено 13-я книга "Начал" Евкліда. Їх ще називають тілами Платона, тому вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про пристрій світобудови. Чотири багатогранника уособлювали в ній чотири сутності або "стихії". Тетраедр символізував вогонь, тому його вершина спрямована вгору; ікосаедр - воду, тому він самий "обтічний"; куб - землю, як самий "Стійкий"; октаедр - повітря, як самий "повітряний". П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював у собі "все суще", символізував все світобудову, вважався головним.
Гармонійні відносини стародавні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії у них були пов'язані такої пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь . Атоми "Стихій" настроювалися Платоном у скоєних консонансах, як чотири струни ліри. Нагадаю, що консонансом називається приємне співзвуччя. Треба сказати, що своєрідні музичні відносини в платонових тілах є чисто умоглядними і не мають під собою ніякої геометричної основи. Цими відносинами не пов'язані ні число вершин Платонових тіл, ні обсяги правильних багатогранників, ні число ребер або граней.
У зв'язку з цими тілами доречно буде сказати, що перша система елементів, включає чотири елемента - землю, воду, повітря й вогонь, - була канонізована Аристотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями світобудови протягом багатьох століть. Цілком можливо ототожнити їх з відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним і плазмовим.
Важливе місце займали правильні багатогранники в системі гармонічного пристрою миру И. Кеплера. Все та ж віра в гармонію, красу і математично закономірне пристрій світобудови привела И. Кеплера до думки про те, що оскільки існує п'ять правильних багатогранників, то їм відповідають тільки шість планет. На його думку, сфери планет зв'язані між собою вписаними в них Платоновим тілами. Оскільки для кожного правильного багатогранника центри вписаною і описаної сфер збігаються, то вся модель буде мати єдиний центр, в якому знаходитиметься Сонце.
Проробивши величезну обчислювальну роботу, в 1596 р. І. Кеплер у книзі "Таємниця світобудови "опублікував результати свого відкриття. У сферу орбіти Сатурна він вписує куб, в куб - сферу Юпітера, у сферу Юпітера - тетраедр, і так далі послідовно вписуються один в одного сфера Марса - додекаедр, сфера Землі - ікосаедр, сфера Венери - октаедр, сфера Меркурія. Таємниця світобудови здається відкритою.
Сьогодні можна з упевненістю сказати, що відстані між планетами не пов'язані ні з якими многогранниками. Втім, можливо, що без "Таємниці світобудови", "Гармонії світу" І. Кеплера, правильних багатогранників не було б трьох знаменитих законів И. Кеплера, які відіграють важливу роль в описі руху планет.
Де ще можна побачити ці дивовижні тіла? У дуже красивою книзі німецького біолога початку нашого століття Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні невичерпна кількість дивовижних створінь, які по красі і різноманітності далеко перевершують все створені мистецтвом людини форми ". Створення природи, наведені в цій книзі, гарні й симетричні. Це невіддільне властивість природної гармонії. Але тут видно й одноклітинні організми - феодаріі, форма яких точно передає ікосаедр. Чим же викликана така природна геометризація? Може бути, тим, що з всіх багатогранників з такою ж кількістю граней саме ікосаедр має найбільший обьем і найменшу площу поверхні. Це геометричне властивість допомагає морському мікроорганізму переборювати тиск водної товщі.
Цікаво й те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів в їх суперечках щодо форми вірусів. Вірус не може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що й потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає точно таку ж тінь - ікосаедр. Його геометричні властивості, про які говорилося вище, дозволяють заощаджувати генетичну інформацію. Правильні багатогранники - найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Так, куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих квасцов (KAlSO4) 2 12Н2О має форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS має форму Додекаедр, сурьменістий сірчанокислий натрій - тетраедра, бор - ікосаедра. Правильні многогранники визначають форму кристалічних грат деяких хімічних речовин. Проілюструю цю думку наступною задачею.
Задача. Модель молекули метану CH4 має форму правильного тетраедра, у чотирьох вершинах якого знаходяться атоми водню, а в центрі - атом вуглецю. Визначити кут зв'язку між двома СН зв'язками.
Рішення. Так як правильний тетраедр має шість рівних ребер, то можна підібрати такий куб, щоб діагоналі його граней були ребрами правильного тетраедра (мал.2). Центр куба є і центром тетраедра, адже чотири вершини тетраедра є й вершинами куба, а описувана біля них сфера однозначно визначається чотирма точками, що не лежать в одній площині. Шуканий кут j між двома СН зв'язками дорівнює куту АОС. Трикутник АОС-рівнобедрений. Звідси, де а - сторона куба, d-довжина діагоналі бічної грані або ребро тетраедра. Отже,, звідки = 54,73561 Про і j = 109,47 Про
Ідеї Піфагора, Платона, І. Кеплера про зв'язок правильних багатогранників з гармонічним пристроєм світу вже в наш час знайшли своє продовження в цікавій науковій гіпотезі, авторами якої (на початку 80-х років) з'явилися московські інженери В. Макаров і В. Морозов. Вони вважають, що ядро ​​Землі має форму і властивості зростаючого кристала, що робить вплив на розви...
