Чернігівський державний педагогічний університет імені Т.Г.Шевченка
фізико-математичний факультет
Курсова робота на тему:
множини комплексних чисел
Підготувала студентка 45 групи
Петрова Наталія Олександрівна
Чернігів 2003
План
1. Виникнення та Розвиток Поняття комплексного числа.
2. Поняття комплексного числа.
3. Дії над комплексними числами.
4. геометричність зображення комплексного числа.
5. Модуль и аргумент комплексного числа.
6. Трігонометрічна форма комплексного числа.
7. Застосування комплексних чисел.
Виникнення та Розвиток Поняття комплексного числа.
"Крім і навіть проти волі того чи іншого математика, уявні числа знову і знову з'являються на викладках, і лише поступово по мірі того як виявляється користь від їх вживання, вони отримують більш і більш широке поширення "
Ф. Клейн.
Давньогрецькі математики вважали "справжніми" тільки натуральні числа. Поступово складалося уявлення про нескінченність безлічі натуральних чисел.
У III столітті Архімед розробив систему позначення аж до такого величезного як. Поряд з натуральними числами застосовували дробу - числа, складені з цілого числа часткою одиниці. У практичних розрахунках дробу застосовувалися за дві тисячі років до н. е.. в давньому Єгипті і стародавньому Вавилоні. Довгий час вважали, що результат вимірювання завжди виражається або у вигляді натурального числа, або у вигляді відношення таких чисел, тобто дробу. Давньогрецький філософ і математик Піфагор вчив, що "... елементи чисел є елементами всіх речей і весь світ в цілому є гармонією і числом. Найсильніший удар по цьому погляду був нанесений відкриттям, зробленим одним з піфагорійців. Він довів, що діагональ квадрата непорівнянна зі стороною. Звідси випливає, що натуральних чисел і дробів недостатньо, для того щоб виразити довжину діагоналі квадрата зі стороною 1. Є підстави стверджувати, що саме з цього відкриття починається ера теоретичної математики: відкрити існування несумірних величин за допомогою досвіду, не вдаючись до абстрактного міркування, було неможливо.
Наступним важливим етапом у розвитку поняття про число було введення негативних чисел - це було зроблено китайськими математиками за два століття до н. е.. Негативні числа застосовували в III столітті давньогрецький математик Діофант, який знав уже правила дії над ними, а в VII столітті ці числа вже докладно вивчили індійські вчені, які порівнювали такі числа з боргом. За допомогою негативних чисел можна було єдиним чином описувати зміни величин. Вже у VIII столітті було встановлено, що квадратний корінь з позитивного числа має два значення - позитивне і негативне, а з негативних чисел квадратний корінь витягати не можна: немає такого числа, щоб.
У XVI столітті у зв'язку з вивченням кубічних рівнянь виявилося необхідним видобувати квадратні коріння з негативних чисел. В формулою для вирішення кубічних рівнянь виду кубічні і квадратні корені:.
Ця формула безвідмовно діє у випадку, коли рівняння має один дійсний корінь (), а якщо воно має три дійсних кореня (), то під знаком квадратного кореня чинився негативне число. Виходило, що шлях до цих коренів веде через неможливу операцію добування квадратного кореня з негативного числа. Слідом за тим, як були вирішені рівняння 4-й ступеня, математики посилено шукали формулу для рішення рівняння 5-го ступеня. Але Руффіні (Італія) на рубежі XVIII і XIX століть довів, що буквене рівняння п'ятого ступеня не можна вирішити алгебраїчно; точніше: не можна висловити його корінь через літерні величини a, b, c, d, e з допомогою шести алгебраїчних дій (додавання, віднімання, множення, ділення, зведення у ступінь, добування кореня).
У 1830 році Галуа (Франція) довів, що ніяке загальне рівняння, ступінь якого більше ніж 4, можна вирішити алгебраїчно. Тим Проте всяке рівняння n-го ступеня має (якщо розглядати і комплексні числа) n коренів (серед яких можуть бути й однакові). У цьому математики були переконані ще в XVII столітті (грунтуючись на розборі численних приватних випадків), але лише на рубежі XVIII і XIX століть згадана теорема була доведена Гауссом.
Італійський алгебраїст Дж. Кардано в 1545 р. запропонував ввести числа нової природи. Він показав, що система рівнянь , не має рішень у безлічі дійсних чисел, має рішення виду, , Потрібно тільки умовитися діяти над такими висловлюваннями за правилами звичайної алгебри й уважати що. Кардано називав такі величини " чисто негативними " і навіть " софистически негативними ", вважав їх марними і намагався їх не вживати. У самому справі, за допомогою таких чисел не можна виразити ні результат виміру якої-небудь величини, ні зміна небудь величини. Але вже в 1572 році вийшла книга італійського алгебраиста Р. Бомбелли, в якій були встановлені перші правила арифметичних операцій над такими числами, аж до вилучення з них кубічних коренів. Назва " уявні числа " ввів в 1637 році французький математик і філософ Р. Декарт, а в 1777 році один з найбільших математиків XVIII століття - Л. Ейлер запропонував використовувати першу букву французького слова imaginaire (уявний) для позначення числа (мнимої одиниці). Цей символ увійшов у загальне вживання завдяки К. Гауссу. Термін " комплексні числа " так само був введений Гауссом у 1831 році. Слово комплекс (від латинського complexus ) означає зв'язок, поєднання, сукупність понять, предметів, явищ і т. д. Утворюють єдине ціле.
Протягом XVII століття тривало обговорення арифметичної природи уявних чисел, можливості дати їм геометричне обгрунтування.
Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVIII століть була побудована загальна теорія коренів n-их ступенів спочатку з негативних, а за тим з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступній формулі англійського математика А. Муавра (1707):. За допомогою цієї формули можна було так само вивести формули для косинусів і синусів кратних дуг. Л. Ейлер вивів в 1748 році чудову формулу:, яка зв'язувала воєдино показову функцію з тригонометричної. За допомогою формули Л. Ейлера можна було зводити число e в будь-яку комплексну ступінь. Цікаво, наприклад, що . Можна знаходити sin і cos від комплексних чисел, обчислювати логарифми таких чисел, тобто будувати теорію функцій комплексного змінного.
В кінці XVIII століття французький математик Ж. Лагранж зміг сказати, що математичний аналіз уже не утрудняють мнимі величини. За допомогою уявних чисел навчилися виражати рішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, в теорії коливань матеріальної точки в опірному середовищі. Ще раніше швейцарський математик Я. Бернуллі застосовував комплексні числа для рішення інтегралів.
Хоча протягом XVIII століття з допомогою комплексних чисел були вирішені багато питань, в тому числі і прикладні завдання, пов'язані з картографією, гідродинамікою і т. д., проте ще не було строго логічного обгрунтування теорії цих чисел. За цим французький вчений П. Лаплас вважав, що результати, отримані за допомогою уявних чисел, - тільки наведення, що здобуває характер справжніх істин лише після підтвердження прямими доказами.
"Ніхто ж не сумнівається в...
