Математичне сподівання і його властивості.
Однією з важливих числових характеристик випадкової величини є математичне очікування . Введемо поняття системи випадкових величин. Розглянемо сукупність випадкових величин, які є результатами одного і того ж випадкового експерименту. Якщо - одне з можливих значень системи, то події відповідає певна ймовірність задовольняє аксіомам Колмогорова. Функція, визначена при будь-яких можливих значеннях випадкових величин, називається спільним законом розподілу. Ця функція дозволяє обчислювати ймовірності будь-яких подій з. Зокрема, спільний закон розподілу випадкових величин і, які приймають значення з безлічі і, задається імовірностями. Розширимо поняття незалежності випадкових подій і введемо поняття незалежних випадкових величин.
1) Математичне сподівання постійної величини дорівнює самій постійній, тобто .
Доказ . Постійну можна розглядати як дискретну випадкову величину, приймаючу єдине значення з імовірністю 1. .
2) Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання:.
Доказ. Нехай випадкова величина задана законом розподілу ймовірностей:
. . .
. . .
. . .
. . .
Очевидно, що випадкова величина також є дискретною і приймає значення,, ... ,, ... з колишніми ймовірностями,, ... ,, ... тобто закон розподілу має вигляд
. . .
. . .
. . .
. . .
Тоді за визначенням математичного очікування.
3) Математичне сподівання добутку декількох взаємно незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань:
.
Доказ. Розглянемо випадкову величину і доведемо, що
Дійсно, якщо і задані рядами розподілу
. . .
. . .
. . .
. .
то, як було зазначено вище, випадкова величина має наступний закон розподілу:
. . .
. . .
Тоді
.
Методом математичної індукції можна довести, що якщо це властивість виконується для випадкових величин, то воно виконується і для випадкових величин.
4) Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі математичних очікувань доданків:.
Доказ. Нехай задано дві випадкові величини і рядами розподілу (див. попереднє властивість).
В силу вищесказаного можливі значення випадкової величини будуть,,,, ... Їх імовірності,,, ... , Тому що вони визначаються по теоремі множення ймовірностей. Т.к. ймовірність позначає ймовірність того, що події і наступають спільно, тобто .
Переходячи до математичному очікуванню розглянутої суми, маємо
Припустимо, що властивість 4) справедливо для випадкової величини застосовуючи в черговий раз метод математичної індукції доведемо, що це властивість справедливо і для випадкових величин.
Дисперсія випадкової величини
На практиці часто потрібно оцінити розсіювання можливих значень випадкової величини навколо її середнього значення. Відхиленням випадкової величини є різниця між значенням випадкової величини і її математичним очікуванням і позначається. Хоча відхилення є величиною випадковою, але використовувати його для оцінки розкиду не зручно, тому його математичне сподівання завжди дорівнює 0. Тому для характеристики розсіювання вводять інші характеристики.
Визначення. Дисперсією випадкової величини називається математичне очікування квадрата її відхилення :.
З цього визначення випливає, що дисперсія випадкової величини обчислюється за формулою
для дискретної випадкової величини
для неперервної випадкової величини.
(1)
Справедлива наступна теорема.
Теорема. Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному очікуванню її квадрата мінус квадрат математичного очікування :.
Доказ. З визначення дисперсії та враховуючи, що математичне сподівання - постійна величина, отримаємо
.
Тоді формула (1) набуде вигляду
для дискретної випадкової величини
для неперервної випадкової величини.
(2)
Властивості дисперсії
Дисперсія постійної величини дорівнює нулю:.
Дійсно,.
Постійний множник можна виносити за знак дисперсії, зводячи його в квадрат:.
Доказ . За визначенням дисперсії і в силу властивостей математичного очікування отримуємо:
.
Дисперсія суми кількох незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
.
Доказ . Спочатку доведемо властивість для двох величин і.
По теоремі
І далі методом математичної індукції ...
Слідство 1. Дисперсія суми постійної величини і випадкової величини дорівнює дисперсії випадкової величини:.
Дійсно,.
Слідство 2. Дисперсія різниці двох незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій:.
Доказ . Використовуючи властивості 2) і 3), отримуємо
.
Дисперсія випадкової величини як характеристика розкиду має одну незручну особливість: її розмірність (з визначення) дорівнює квадрату розмірності випадкової величини.
Визначення. Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини називається арифметичний корінь з дисперсії, тобто .
Знаючи введені дві числові характеристики - математичне очікування і середнє квадратичне відхилення, - отримуємо орієнтовний уявлення про межах можливих значень випадкової величини.
Мода і медіана як різновид середніх величин в варіаційних рядах
Середні величини є свого роду відверненої, абстрактної величиною. Відволікаючись від конкретних величин кожного варіанта, ці числа відображають те загальне, що притаманне всієї сукупності одиниць. При цьому може статися, що величина середньої не має рівності ні одним із конкретних варіантів зустрічаються в аналізованої сукупності варіантів.
Наприклад, середнє число членів сім'ї, рівне 3,84, отримане на основі обчислення відповідної сукупності даних, нічого спільного з конкретною складом сім'ї не має, оскільки дробового числа членів сім'ї не може бути. Тут у даному показнику середньої величини складу сім'ї виражається деяке центральне значення, близько якого групуються р...
