Курс лекцій з дисципліни
В«Матричний аналіз В»
для студентів II курсу
математичного факультету спеціальності
В«Економічна кібернетика В»
(лектор Дмитрук Марія Олександрівна)
Глава 3. Функції від матриць.
1. Визначення функції.
Df. Нехай - функція скалярного аргументу. Потрібно визначити, що розуміти під f (A), тобто потрібно поширити функцію f (x) на матричне значення аргументу.
Рішення цього завдання відомо, коли f (x) - многочлен:, тоді.
Визначення f (A) в загальному випадку.
Нехай m (x) - мінімальний багаточлен А і він має таке канонічне розкладання,, - власні значення А. Нехай багаточлени g (x) і h (x) приймають однакові значення.
Нехай g (A) = h (A) (1), тоді многочлен d (x) = g (x)-h (x) - анулює многочлен для А, так як d (A) = 0, отже, d (x) ділиться на лінійний многочлен, тобто d (x) = m (x) * q (x) (2).
Тоді , Тобто (3),,,.
Умовимося m чисел для f (x) таких називати значеннями функції f (x) на спектрі матриці А, а безліч цих значень будемо позначати. ​​
Якщо безліч f (Sp A) визначено для f (x), то функція визначена на спектрі матриці А.
З (3) випливає, що многочлени h (x) і g (x) мають однакові значення на спектрі матриці А.
Наші міркування оборотні, тобто з (3) Гћ (3) Гћ (1). Таким чином, якщо задана матриця А, то значення многочлена f (x) цілком визначається значеннями цього многочлена на спектрі матриці А, тобто всі многочлени g i (x), що приймають однакові значення на спектрі матриці мають однакові матричні значення g i (A). Вимагатимемо, щоб визначення значення f (A) в загальному випадку підпорядковувалося такому ж принципом.
Значення функції f (x) на спектрі матриці А повинні полносільно визначити f (A), тобто функції, що мають одні й ті ж значення на спектрі повинні мати одне і те ж матричне значення f (A). Очевидно, що для визначення f (A) в загальному випадку, достатньо знайти многочлен g (x), який би брав ті ж значення на спектрі А, що і функція f (A) = g (A).
Df. Якщо f (x) визначена на спектрі матриці А, то f (A) = g (A), де g (A) - многочлен, що приймає на спектрі ті ж значення, що і f (A),
Df. Значенням функції від матриці А назвемо значення многочлена від цієї матриці при.
Серед многочленів з С [x], які беруть однакові значення на спектрі матриці А, що і f (x), ступеня не вище (m-1), який приймає однакові значення на спектрі А, що і f (x) - це залишок від ділення будь-якого многочлена g (x), що має ті ж значення на спектрі матриці А, що і f (x), на мінімальний багаточлен m (x) = g (x) = m (x) * g (x) + r (x).
Цей многочлен r (x) називають інтерполяційним многочленом Лагранжа-Сильвестра для функції f (x) на спектрі матриці А.
Зауваження. Якщо мінімальний багаточлен m (x) матриці А не має кратних коренів, тобто , То значення функції на спектрі.
Приклад:
Знайти r (x) для довільної f (x), якщо матриця
. Побудуємо f (H 1 ). Знайдемо мінімальний многочлен H 1 - останній інваріантний множник [xE-H 1 ]:
, d n-1 = x 2 ; d n-1 = 1;
0 - n-кратний корінь m (x), тобто n-кратні власні значення H 1 .
, r (0) = f (0), r '(0) = f' (0), ..., r (n-1) (0) = f (n-1) (0) Гћ .
2. Властивості функцій від матриць.
Властивість № 1. Якщо матриця має власні значення (серед них можуть бути і кратні), а, то власними значеннями матриці f (A) є власні значення многочлена f (x):.
Доказ:
Нехай характеристичний многочлен матриці А має вигляд:
, ,. Порахуємо. Перейдемо від рівності до визначників:
Зробимо заміну в рівності:
(*)
Рівність (*) Справедливо для будь-якого безлічі f (x), тому замінимо многочлен f (x) на, отримаємо:
.
Зліва ми отримали характеристичний многочлен для матриці f (A), розкладений праворуч на лінійні множники, звідки випливає, що - власні значення матриці f (A).
ЧТД.
Властивість № 2. Нехай матриця і - Власні значення матриці А, f (x) - довільна функція, визначена на спектрі матриці А, тоді власні значення матриці f (A) рівні.
Доказ:
Т.к. функція f (x) визначена на спектрі матриці А, то існує інтерполяційний многочлен матриці r (x) такий, що, а тоді f (A) = r (A), а у матриці r (A) власними значеннями по властивості № 1 будуть яким відповідно дорівнюють.
ЧТД.
Властивість № 3. Якщо А і В подібні матриці,, тобто , І f (x) - довільна функція, визначена на спектрі матриці А, тоді
Доказ:
Т.к. А і В подібні, то їхні характеристичні многочлени однакові Гћ однакові і їх власні значення, тому значення f (x) на спектрі матриці А співпадає зі значення функції f (x) на спектрі матриці В, при чому існує інтерполяційний многочлен r (x) такий, що f (A) = r (A),, Гћ.
ЧТД.
Властивість № 4. Якщо А - блочно-діагональна матриця, то
Слідство: Якщо, то, де f (x) - функція, визначена на спектрі матриці А.
4. Інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра.
Випадок № 1.
Нехай дана. Розглянемо перший випадок: характеристичний многочлен має рівно n коренів, серед яких немає кратних, тобто всі власні значення матриці А різні, тобто , Sp A - простий. У цьому випадку побудуємо базисні многочлени l k (x):
.
Нехай f (x) - функція, визначена на спектрі матриці А і значеннями цієї функції на спектрі будуть. Треба побудувати.
Побудуємо:
.
Звернемо увагу, що.
Приклад: Побудувати інтерполяційний многочлен Лагранжа-Сильвестра для матриці.
Побудуємо базисні многочлени:
Тоді для функції f (x), певної на спектрі матриці А, ми отримаємо:
.
Візьмемо , Тоді інтерполяційний многочлен
.
Випадок № 2.
Характеристичний многочлен матриці А має кратні корені, але мінімальний багаточлен цієї матриці є дільником характеристичного багаточлена і має тільки прості корені, тобто . В цьому випадку інтерполяційний многочлен будується так само як і в попередньому випадку.
Випадок № 3.
Розглянемо загальний випадок. Нехай мінімальний багаточлен має вигляд:
,
де m 1 + m 2 + ... + m s = m, deg r (x)
Складемо дробно-раціональну функцію:
і розкладемо її на найпростіші дроби.
Позначимо: . Помножимо (*) на і отримаємо
де - Деяка функція, не обращающаяся в нескінченність при.
Якщо в (**) покласти, отримаємо:
Для того, щоб знайти a k3 треба (**) продиференціювати двічі і т.д. Таким чином, коефіцієнт a ki визначається однозначно.
Після знаходження всіх коефіцієнтів повернемося до (*), помножимо на m (x) і отримаємо інтерполяційн...
