ВСТУП
Значітельнаое число завдань фізики та техніки призводять до диференціальним рівнянням в приватних прозводних (Рівняння математичної фізики). Встановилися процеси різної фізичної природи описуються рівняннями еліптичного типу.
Точні рішення крайових завдань для еліптичних рівнянь вдається отримати лише в приватних випадках. Тому ці завдання вирішують в основному наближено. Одним з найбільш універсальних і ефективних методів, що одержали в даний час широке поширення для наближеного розв'язання рівнянь математичної фізики, є метод кінцевих різниць або метод сіток.
Суть методу полягає в наступному. Область безперервного зміни аргументів, замінюється дискретним безліччю точок (вузлів), яке називається сіткою або гратами. Замість функції безперервного аргументу розглядаються функції дискретного аргументу, певні у вузлах сітки і звані сітковими функціями. Похідні, входять до диференціальне рівняння і граничні умови, замінюються різницевими похідними, при цьому крайова завдання для диференціального рівняння замінюється системою лінійних або нелінійних алгебраїчних рівнянь (Сіткових або різницевих рівнянь). Такі системи часто називають різницевими схемами. І ці схеми вирішуються щодо невідомою сіткової функції.
Далі ми будемо розглядати застосування ітераційного методу Зейделя для обчислення невідомою сіткової функції в крайовій задачі з неоднорідним бігармоніческім рівнянням.
ПОСТАНОВКА ЗАВДАННЯ
Нехай у нас є бігармоніческое рівняння:
2
U = f
Заданий на області G = { (x, y) : 0 <= x <= a, 0 <= y <= b }. Нехай також задані крайові умови на кордоні області G .
U = 0 Y
x = 0 b
U xxx = 0
x = 0
G
U x = 0
x = a
U xxx = 0 0 a X
x = a
U = 0 U = 0
y = 0 y = b
U y = 0 U xx + U yy = 0
y = 0 y = b y = b
Треба вирішити цю задачу чисельно.
Для рішення будемо використовувати ітераційний метод Зейделя для вирішення сіткових завдань.
За нашої області G побудуємо рівномірні сітки W x і W y з кроками h x і h y відповідно .
W x = { x (i) = i h x , i = 0,1 ... N, h x N = a }
W y = { y (j) = j h y , j = 0,1 ... M, h y M = b }
Безліч вузлів U ij = (x (i), y (j)) мають координати на площині х (i) , y (j) називається сіткою в прямокутнику G і позначається :
W = { U ij = (ih x , j h y ), i = 0,1 ... N, j = 0,1 ... M, h x N = a, h y M = b }
Сітка W очевидно складається з точок перетину прямих x = x (i) і y = y (j) .
Нехай задана сітка W . Безліч всіх сіткових функцій заданих на W утворить векторний простір з певному на ньому сложеніемфункцій і множенням функції на число. На просторі сіткових функцій можна определітьразностние або сіткові оператори. 0ператор A перетворюючий сіткову функцію U в сіткову функцію f = A U називається різницевим або сітковим оператором. Безліч вузлів сітки використовуване при написанні різницевого оператора в вузлі сітки називається шаблоном цього оператора.
Найпростішим різницевим оператором є оператор диференціювання сіткової функції, який породжує різницеві похідні. Нехай W - Сітка з кроком h введена на R тобто
W = {X i = a + ih, i = 0, + 1, + 2 ...}
Тоді різницеві похідні першого порядку для сіткової функції Y i = Y (X i ) , X i з W , визначається за формулами :
пЃЊ 1 Y i = Y i - Y i-1 , пЃЊ 2 Y i = пЃЊ 1 Y i +1
h
і називаються відповідно лівої і правої похідної. Використовується так само центральна похідна :
пЃЊ 3 Y i = Y i +1 - Y i-1 =
2h 2
Різницеві оператори A 1 , A 2 , A 3 мають шаблони складаються 2х крапок і використовуються при апроксимації першої похідної Lu = u ' . Різницеві похідні n -ого порядку визначаються як сіткові функції одержувані шляхом обчислення перший різницевої похідної від функції, є різницевої похідної n-1 порядку, наприклад :
Y xxi = Y xi +1 - Y xi = Y i-1 -2Y i + Y i +1
2
h h
Y xxi = Y xi +1 -Y xi- 1 = Y i-2 - 2Y i + Y i + 2
2
2h 4h
які використовуються при апроксимації другої похідної. Відповідні різницеві оператори мають 3х точковий шаблон.
Анологічно не представляє праці визначити різницеві похідні від сіткових функцій декількох змінних.
Аппроксоміруем нашу задачу за допомогою різницевих похідних. І застосуємо до получившейся сіткової задачі метод Зейделя.
МЕТОД Зейделя
Одним із способів рішення сіткових рівнянь є ітераційний метод Зейделя.
Нехай нам дана система лінійних рівнянь :
A U = f
або в розгорнутому вигляді:
M
a ij U j = f i , I = 1,2 ... M
i = 1
Ітераційний метод Зейделя в припущенні що діагональні елементи матриці А = ( a ij ) відмінні від нуля ( a ii <> 0 ) записується в наступному вигляді:
i (K +1) M (k)
a ij Y j + A ij Y j = f i , I = 1,2 ... M
j = 1 j = i +1
(k)
де Y j - J ая компонента ітераційного наближення номери k . В якості початкового наближення вибирається довільний вектор.
Визначення ( k
