Чуваська державний університет ім. І.М. Ульянова
Кафедра вищої математики
КУРСОВА РОБОТА
на тему:
В«Криві третього і четвертого порядку В»
Виконали: студенти
групи С-12-00
Пінаєв І.М.
Іскаков Р.Р.
Перевірила:
доцент кафедри вищої математики
к.ф.-м.наук Самаріна С.М.
Чебоксари, 2002
Декартом лист
1. Особливості форми. декартових листом називається крива 3-го порядку, рівняння якої в прямокутній системі має вигляд
(1)
Іноді зручно користуватися параметричними рівняннями декартова аркуша, які можна отримати, вважаючи y = tx , приєднуючи до цього рівності рівність (1) і вирішуючи отриману систему відносно х і у, в результаті будемо мати:
(2)
звідки випливає, що Декарт лист є раціональною кривої.
Зауважимо ще, що полярне рівняння декартова аркуша має вигляд
(3)
Координати х і у входять в рівняння декартова аркуша симетрично, звідки випливає, що крива симетрична щодо бісектриси у = х. Звичайне дослідження на особливі точки призводить до висновку, що початок координат є вузловою точкою декартова аркуша. Рівняння дотичних до алгебраїчної кривої в її особливій точці, що збігається з початком координат, можна одержати, як відомо, прирівнюючи нулю групу членів нижчого ступеня з рівняння цієї кривої. У нашому випадку маємо З аху = 0, звідки отримаємо х = 0 і у = 0 - шукані рівняння дотичних в вузловій точці. Ці дотичні збігаються з координатними осями і, отже, на початку координат крива перетинає сама себе під прямим кутом. Легко бачити, що в перший координатному куті крива робить петлю, яка перетинається з прямою у = х в точці
Точки цієї петлі, в яких дотичні паралельні координатним осям, мають координати
і (див. рис. 1)
Для остаточного висновку про форму кривої слід ще знайти асимптоти Замінюючи в рівнянні кривої у на прирівняємо нулю в отриманому рівнянні коефіцієнти двох членів з вищими ступенями х. Отримаємо
і b = - а. Таким чином, Декарт лист має асимптоти
у = - х - а; отже, у 2-му і 4-му координатних кутах гілки декартова аркуша йдуть в нескінченність.
Рис. 1
2. Властивості. Згідно з теоремою Маклорена, якщо в трьох точках алгебраїчної кривої 3-го порядку, що лежать на одній прямій, провести дотичні до цієї кривої, то точки їх перетину з кривою будуть лежати також на прямій лінії. Стосовно до декартову листу ця теорема доводиться просто. Виведемо з цією метою попередньо умова перебування трьох точок декартова аркуша, що відповідають значенням t 1 , t 2 і t 3 параметра, на одній прямій. Якщо рівняння прямої має вигляд y = kx + b , то значення параметра, відповідні точкам перетину цієї прямої з кривою, повинні задовольняти системі
Система ця приводить до рівняння
коріння якого і будуть шуканими значеннями t 1 , t 2 і < i> t 3 параметра, звідки випливає, що
(4)
Це рівність і є умовою перебування трьох точок M 1 ( t 1 ), M 2 ( t 2 ), М 3 (t 3 ) декартова аркуша на одній прямій.
Розташовуючи цією умовою, покажемо справедливість теореми Маклорена для декартовій аркуша. Дійсно, дотичну в точці M 1 ( t 1 ) можна розглядати як пряму, яка перетинає Декартом лист в двох співпадаючих між собою точках, для яких t 2 = t 1 , і в третій точці, для якої відповідне значення параметра позначимо через T 1 . Умова (4) набуде вигляду t 1 2 T 1 = - 1. Для дотичних в точках М 2 і M 3 отримаємо аналогічні співвідношення t 2 2 T 2 = -1 І t 3 2 T 3 = -1 . Перемножая ці три рівності, будемо мати
= -1 . звідки на підставі (4) укладаємо, що і T 1 T 2 T 3 = -1, тобто точки N 1 ( T 1 ), N 2 (T 2 ) і N 3 (T 3 ) лежать на одній прямій.
Визначаючи площу, обмежену петлею декартова аркуша, отримаємо:
3. Спосіб побудови. Зауважимо попередньо, що якщо вісь симетрії декартова аркуша прийняти за вісь абсцис, то рівняння його прийме вигляд
(5)
Нехай тепер мається окружність з радіусом r і центром в точці
і пряма х = - h . Візьмемо довільну точку Q цієї окружності і проведемо пряму QA і пряму QN , перпендикулярну до осі абсцис (рис. 2). З точки перетину R прямий QA з прямою х =-h проводимо пряму RO до перетину її в точці Q 1 з прямою QN. Таким чином, точці Q на окружності буде поставлена ​​в відповідність точка Q 1 . Геометричне місце точок Q 1 представляє собою Декартом лист.
Рис 2.
Для доказу зауважимо, що координати точки Q можна записати у вигляді
кут, що складається радіусом кола, проведеним у точку Q, з позитивним напрямком осі абсцис. В Відповідно до цього рівняння прямої QA може бути записано у вигляді
Вважаючи в цьому рівнянні х = - h , знаходимо ординату
точки R . Звідси випливає, що рівняння прямої RQ 1 < i> запишеться у вигляді
(6)
У той же час рівняння прямої Q 1 N має вигляд
(7)
Виключаючи з рівнянь (6) і (7) параметр w , знаходимо рівняння геометричного місця точок Q 1 у вигляді
Зіставляючи його з рівнянням (5), укладаємо, що знайдене геометричне місце точок є декартовим листом.
Перетворення точок кола в точки декартова аркуша, здійснюване при такому його побудові, називається перетворенням Маклорена .
4. Історична довідка. Вперше в історії математики крива, названа згодом декартовим листом, визначається в листі Декарта до Ферма в 1638 р. як крива, для якої сума обсягів кубів, побудованих на абсциссе і ординате кожної точки, дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на абсциссе, ординате і деякої константі. Форма кривої встановлюється вперше Роберваля, який знаходить вузлову точку кривої, проте в його уявленні крива складається лише з петлі. Повторюючи цю петлю в чотирьох квадрантах, він отримує фігуру, що нагадує йому квітка з чотирма пелюстками. Поетичне назву кривої В«пелюстка жасминуВ», однак, не прищепилося. Повна форма кривої з наявністю асимптоти була визначена пізніше (1692) Гюйгенсом і І. Бернуллі. Назва В«Декарт листВ» міцно встановилося тільки з початку 18 століття.
Ціссоіда Діоклеса
1. Особливості форми. Серед багатьох способів утворення ціссоіди- кривої, відкритої древніми в пошуках рішення знаменитої задачі про подвоєння куба, ми зупинимос...
