Абстрактна теорія груп
Поняття абстрактної групи.
1.Поняття алгебраїчної операції.
Кажуть, що на безлічі X визначена алгебраїчна операція ( * ) , якщо кожної впорядкованої парі елементів поставлений в відповідність деякий елемент званий їх твором.
Приклади.
Композиція переміщень на множинах є алгебраїчної операцією.
Композиція підстановок є алгебраїчної операцією на безлічі всіх підстановок ступеня n.
Алгебраїчними операціями будуть і звичайні операції додавання, віднімання та множення на множинах відповідно цілих, речових і комплексних чисел. Операція розподілу не буде алгебраїчною операцією на цих множинах, оскільки приватне не визначено при . Однак на множинах , це буде алгебраїчна операція.
Додавання векторів є алгебраїчної операцією на безлічі .
Векторне твір буде алгебраїчною операцією на безлічі .
Множення матриць буде алгебраїчної операцією на множині всіх квадратних матриць даного порядку.
2.Свойства алгебраїчних операцій.
Операція (*) Називається асоціативної , якщо .
Це властивість виконується у всіх наведених вище прикладах, за винятком операцій віднімання (І ділення) і операції векторного множення векторів. Наявність властивості асоціативності дозволяє визначити твір будь-якого кінцевого безлічі елементів. Наприклад, якщо , . Зокрема можна визначити ступеня з натуральним показником: . При цьому мають місце звичайні закони: , .
2. Операція (*) називається комутативної , якщо
В наведених вище прикладах операція комутативна в прикладах 3 і 4 і не коммутативна в інших випадках. Відзначимо, що для комутативної операції
Елемент називається нейтральним для алгебраїчної операції (*) на безлічі X, якщо . У прикладах 1-6 нейтральними елементами будуть відповідно тотожне переміщення, тотожна перестановка, числа 0 і 1 для складання та множення відповідно (Для вирахування нейтральний елемент відсутній !), нульовий вектор, одинична матриця. Для векторного твори нейтральний елемент відсутній. Відзначимо, що нейтральний елемент (якщо він існує) визначений однозначно. У самому справі, якщо - Нейтральні елементи, то . Наявність нейтрального елемента дозволяє визначити ступінь з нульовим показником: .
Припустимо, що для операції (*) На X існує нейтральний елемент. Елемент називається зворотним для елемента , якщо . Відзначимо, що за визначенням . Всі переміщення оборотні також як і всі підстановки. Щодо операції додавання всі числа оборотні, а щодо множення оборотні всі числа, крім нуля. Оборотні матриці - це в точності всі матриці з ненульовим визначником. Якщо елемент x звернемо, то визначені ступеня з негативним показником: . Нарешті, відзначимо, що якщо x і y оборотні, то елемент також звернемо і . (Спочатку ми одягаємо сорочку, а потім куртку; роздягаємося ж у зворотному порядку!).
Визначення (Абстрактної) групи.
Нехай на множині G визначена алгебраїчна операція (*). (G, *) називається групою, якщо
Операція (*) асоціативна на G.
Для цієї операції існує нейтральний елемент e (Одиниця групи).
Кожен елемент з G звернемо.
Приклади груп.
Будь група перетворень.
(Z, +), (R, +), (C, +).
Матричні групи: - невироджені квадратні матриці порядку n, ортогональні матриці того ж порядку, ортогональні матриці з визначником 1.
Найпростіші властивості груп.
В будь групі виконується закон скорочення: (Лівий закон скорочення; аналогічно, має місце і правий закон). Доказ. Домножити рівність зліва на і скористаємося властивістю асоціативності: .
Ознака нейтрального елемента:
Доказ Застосуємо до рівності закон скорочення.
Ознака зворотного елемента: Доказ Застосуємо закон скорочення до рівності .
Единственность зворотного елемента. Зворотний елемент визначений однозначно. Слід з п.3.
Існування зворотної операції. Для будь-яких двох елементів довільної групи G рівняння має і притому єдине рішення. Доказ Безпосередньо перевіряється, що (Ліве приватне елементів ) є рішенням зазначеного рівняння. Єдиність витікає з закону скорочення, застосованого до рівності . Аналогічно встановлюється існування і єдиність правого приватного.
Ізоморфізм груп.
Визначення.
Відображення двох груп G і K називається изоморфизмом , якщо
1.Отображеніе j взаємно однозначно. 2.Отображение j зберігає операцію: .
Оскільки відображення зворотне до j також є изоморфизмом, введене поняття симетрично щодо груп G і K, які називаються ізоморфними.
Приклади.
1.Группа поворотів площині і навколо точок і ізоморфні між собою. Аналогічно, ізоморфними будуть і групи, складаються з поворотів простору щодо будь-яких двох осей.
2.Группа діедра і відповідна просторова група ізоморфні.
Група тетраедра T ізоморфна групі складається з парних підстановок четвертої ступеня. Для побудови ізоморфізму достатньо занумерувати вершини тетраедра цифрами 1,2,3,4 і зауважити, що кожен поворот, суміщає тетраедр з собою деяким чином переставляє його вершини і, отже, задає деяку підстановку множини {1,2, 3, 4} Повороти навколо осі, проходить через деяку вершину (наприклад 1), залишає символ 1 на місці і циклічно переставляє символи 1, 2, 3. Всі такі перестановки - Парні. Поворот навколо осі, з'єднує середини ребер (Наприклад, 12 і 34) переставляє символи 1 і 2, а також 3 і 4. Такі перестановки також є парними.
Формула визначає взаємно однозначна відповідність між безліччю R речових чисел і множиною позитивних чисел. При цьому . Це означає, що є ізоморфізмом.
Зауваження . У абстрактної алгебрі ізоморфні групи прийнято вважати однаковими. По суті це означає, що ігноруються індивідуальні властивості елементів групи і походження алгебраїчної операції.
Поняття підгрупи.
Непорожнє підмножина називається підгрупою , якщо саме є групою. Більш докладно це означає, що , і .
Ознака підгрупи.
Непорожнє підмножина буде підгрупою тоді і тільки тоді, коли .
Доказ.
В одну сторону це твердження очевидно. Нехай тепер - будь-який елемент. Візьмемо в ознаці підгрупи. Тоді отримаємо . Тепер візьмемо . Тоді отримаємо .
Приклади підгруп.
Для груп перетворень нове і старе поняття підгрупи рівносильні між собою.
- підгрупа парних підстановок.
і т.д.
Нехай G - будь-яка група і - Будь-який фіксований елемент. Розглянемо безліч всіляких ступенів цього елемента. Оскільки , розглянуте безліч є підгрупою. Вона називається циклічної підгрупою з утворюючим елементом g .
Нехай будь-яка підгрупа Розглянемо безліч - централизатор підгрупи H в групі G. З визначення випливає, що якщо , то , тобто . Тепер ясно, що якщо , то і і значить централизатор є підгрупою. Якщо група G коммутативна, то . Якщо G = H, то централизатор складається з тих елементів, які перестановочне з усіма елементами групи; в цьому випадку він називається центром групи G і позначається Z (G).
Зауваження про адитивної формі запису групи.
Іно...
