Як зробити з точок числа?
Якщо мова йде про точки на прямій - це просто. Вибравши початок відліку і масштаб з напрямком, можна отримати з прямої числову вісь і тим самим перетворити кожну крапку в дійсне число - її координату.
З точками на площині складніше. Вибираємо дві осі і початок відліку. Для кожної точки площини зіставляємо її координати ( x ; y ). Ця пара буде називатися дуплетом . Щоб зробити дуплет числом, потрібно навчитися "складати" і "множити" їх у відповідності з властивостями додавання і множення.
Дуплети складаються як вектори - покоординатного:
(x; y) + (x '; y') = (x + x '; y + y') . (1)
Для множення існує інша формула:
(x; y) (x '; y') = (Xx '- yy'; xy '+ x'y). (2)
Множення і додавання (1), (2) дуплетів підкоряються звичним властивостям додавання і множення. Отже, безліч дуплетів з операціями (1), (2) можна вважати повноцінним числовим безліччю.
Насправді дуплети - це комплексні числа. Їх записують так: x + yi , де i -уявна одиниця (дуплет (0; 1)). Її квадрат дорівнює. Це дозволяє витягувати квадратні корені з від'ємних чисел.
Але постає проблема перетворення точок простору в числа. Тут знову введемо систему координат і запишемо точки у вигляді набору вже трьох координат (x; y; z ). Ці так звані триплети теж складаються покоординатного:
(x; y; z) + (x '; y'; z ') = (x + x'; y + y '; z + z'). (3)
Триплети можна буде вважати числами, якщо навчитися їх множити, володіючи, разом зі властивостями додавання, звичайними способами множення цих операцій.
У 1833 р. множенням триплетів займався ірландський математик У. Р. Гамільтон (1805 - 1865). Про нього ми розповімо окремо.
Вільям Роуан Гамільтон
Гамільтон був людиною багатосторонньо розвиненим. У чотирнадцять років володів дев'ятьма мовами, у 1824 р. опублікував у працях Королівської Ірландської Академії роботу, присвячену геометричній оптиці, в 1828 р. отримав звання королівського астронома Ірландії.
До 1833 м. Гамільтон займав пост директора обсерваторії в Денсінке і був відомий роботами з оптики і аналітичної механіки. Він передбачив ефект подвійний конічної рефракції в двуосного кристалах.
Протягом довгих десяти років Гамільтон безуспішно намагався придумати правило множення триплетів.
Векторний добуток
Завдання спочатку здавалася нескладною. Складати вектори випливало по формулі (3). Залишалося знайти формулу множення, подібну формулою (2). Але Гамільтон безуспішно намагався підбирати формули для множення триплетів.
У той час було відомо правило векторного добутку:
векторним твором ненульових векторів називається вектор, перпендикулярний площині, що проходить через вектори має напрямок, визначуване правилом "правої руки", і довжину ГЄГЄ ГЄГЄ. Якщо для даних векторів задані координати в прямокутній системі координат:
то (4)
Але операція векторного добутку не годилася Гамільтону, оскільки вона не має зворотного. Наприклад, якщо то кут () Між векторами дорівнює нулю. Значить, довжина векторного добутку дорівнює нулю, тобто і сам вектор нульової.
Але незважаючи на невдачі, Гамільтон намагався вирішити поставлене перед собою задачу. Але це завдання не могла бути вирішена (пояснення слід нижче). Але праця не пропала марно. У 1843 р. Гамільтон раптом вирішив, що для визначення множення потрібно розглядати не триплети (трійки чисел), а четвірки, або кватерніони. Ось історія їх створення.
Випадок на Брогемском мосту
В одному з листів до свого сина Гамільтон писав: "Це був 16-й день жовтня, який трапився в понеділок, в день засідання Ради Королівської Ірландської Академії, де я повинен був головувати. Я прямував туди з твоєї матір'ю уздовж Королівського каналу; та, хоча вона говорила мені якісь окремі фрази, я їх майже не сприймав, так як в моїй свідомості підспудно щось творилося. Несподівано наче б замкнулося електричний контур; блиснула іскра, яка передвіщає багато тривалі роки виразно спрямованої думки і праці, мого - якщо доведеться, або праці інших, якщо мені буде даровано досить свідомого життя, щоб повідомити про своє відкриття. Я опинився не в змозі утриматися від бажання висікти ножем на м'якому камені Брогемского мосту фундаментальну формулу про символи i, j, k,
,
містить вирішення проблеми, але, звичайно, цей запис з тих пір стерлася. Однак більш міцне згадка залишилося в Книзі записів Ради Академії за цей день, де засвідчено, що я попросив і отримав дозвіл на доповідь про кватерніонів на першому засіданні сесії, який і був прочитаний відповідно в понеділок 13-го наступного місяця - листопада ".
Визначення кватерніонів
кватерніонів - це четвірки дійсних чисел (x; y; u; v) , які зручно записувати у вигляді q = x + yi + uj + vk , де i, j, k - Нові числа, які є аналогом уявної одиниці в комплексних числах. Потрібно, щоб числа i, j, k задовольняли наступним співвідношенням:
(5)
(6)
які зручно записати у вигляді "таблиці множення".
x i j k
i -1 k j
j-k -1 i
k-j-i -1
За визначенням операції додавання і множення кватерніонів виробляються по звичайним правилам розкриття дужок і приведення подібних членів з урахуванням правил (5) - (6).
Згідно з цим визначенням, якщо і - два кватерниона, то
(7)
Це, зрозуміло, звичне нам "покоординатного" складання. Далі, твір кватерніонів і обчислюється так:
Довга, але абсолютно автоматична перевірка показує, що множення кватерніонів володіє сочетательное властивість:
Природно вважати, що дійсні та комплексні числа є окремим випадком кватерніонів. Так, дійсне число x - це кватерніонів виду
Комплексне число z = x + yi представляється як кватерніонів
У операції додавання кватерніонів, очевидно, мається зворотна операція -Віднімання. Саме, різниця двох кватерніонів і визначається формулою:
Якщо , То різниця кватерніонів - це нульовий кватерніонів.
Ділення кватерніонів
Перейдемо тепер до операції ділення кватерніонів, зворотної до операції множення. Взагалі, що ми розуміємо під приватним від ділення числа a на число b , не рівне нулю? Це таке число c, що
bc = a. (10)
Так визначається частка від ділення для дійсних і комплексних чисел. До жаль, для кватерниона застосувати безпосередньо це визначення ми не можемо. Для того щоб формула (10) "коректно" визначала приватне, потрібно, щоб твір не залежало від порядку співмножників. В іншому випадку поряд з приватним певним формулою (10), існує цілком рівноправне "ліве" приватне "з ', обумовлене формулою
c'b = a,
яке може відрізнятися від "правого приватного" c з (10). Ось тут, крім необхідності вийти за межі тривимірного простору, Гамільтону довелося принести ще одну жертву.
Виявляється, визначені ним нові числа - кватерніони - втратили ще одне звичне якість: твір кватерніонів залежить від порядку співмножників. Дійсно, вже в формулах (6) при зміні порядку співмножників твір змінює знак.
Таким чином, можна говорити лише про "діленні праворуч" і "діленні зліва". Як реально знайти, скажімо, "ліве приватне" від ділення кватерниона на кватерніонів?
Позначимо шукане приватне через q = x + yi + uj + vk . Тоді, використовуючи правило ...
