Реферат на тему:
Виконав учень 10 класу В«ВВ»
середньої школи № 53
Глухів Михайло Олександрович
р. Набережні Челни
2002
Зміст
З історії комбинаторики_________________________________________
3
Правило суммы___________________________________________________
4
Приклади задач____________________________________________________
-
Правило произведения_____________________________________________
4
Приклади задач____________________________________________________
-
Пересічні множества________________________________________
5
Приклади задач____________________________________________________
-
Кола Эйлера_____________________________________________________
-
Розміщення без повторений________________________________________
6
Приклади задач____________________________________________________
-
Перестановки без повторений_______________________________________
7
Приклади задач____________________________________________________
-
Сполучення без повторений__________________________________________
8
Приклади задач____________________________________________________
-
Розміщення та сполучення без повтореній______________________________
9
Приклади задач____________________________________________________
-
Перестановки з повторениями_______________________________________
9
Приклади задач____________________________________________________
-
Завдання для самостійного решенія________________________________
10
Список використовуваної литературы___________________________________
11
З історії комбінаторики
Комбінаторика займається різного виду сполуками, які можна утворити з елементів кінцевого безлічі. Деякі елементи комбінаторики були відомі в Індії ще в II в. до н. е.. Нідійци вміли обчислювати числа, які зараз називають "поєднання". У XII в. Бхаскара обчислював деякі види сполучень і перестановок. Припускають, що індійські вчені вивчали з'єднання у зв'язку із застосуванням їх в поетиці, науці про структурі вірша і поетичних творах. Наприклад, у зв'язку з підрахунком можливих поєднань ударних (довгих) і ненаголошених (коротких) складів стопи з n складів. Як наукова дисципліна, комбінаторика сформувалася в XVII в. У книзі "Теорія і практика арифметики" (1656 р.) французький автор А. Також присвячує сполученням і перестановок цілу главу.
Б. Паскаль в "Трактаті про арифметичний трикутник" і в "Трактаті про числових порядках" (1665 р.) виклав вчення про біноміальних коефіцієнтах. П. Ферма знав про зв'язки математичних квадратів і фігурних чисел з теорією з'єднань. Термін " комбінаторика " став вживатися після опублікування Лейбніцем в 1665 р. роботи "Міркування про комбінаторне мистецтво", в якій вперше дано наукове обгрунтування теорії поєднань і перестановок. Вивченням розміщень вперше займався Я. Бернуллі у другій частині своєї книги "Ars conjectandi "(мистецтво передбачення) в 1713 р. Сучасна символіка поєднань була запропонована різними авторами навчальних посібників тільки в XIX в.
Все розмаїття комбінаторних формул може бути виведено з двох основних тверджень, що стосуються кінцевих множин - правило суми і правило твори.
Правило суми
Якщо кінцеві безлічі не перетинаються, то число елементів XUY {Або} дорівнює сумі числа елементів множини X і числа елементів безлічі Y.
Тобто, якщо на першій полиці стоїть X книжок, а на другій Y, то вибрати книгу з першої або другої полиці, можна X + Y способами.
Приклади задач
Учень повинен виконати практичну роботу з математики. Йому запропонували на вибір 17 тем з алгебри та 13 тем з геометрії. Скількома способами він може вибрати одну тему для практичної роботи?
Рішення: X = 17, Y = 13
За правилом суми XUY = 17 +13 = 30 тем.
Є 5 квитків грошово-речової лотереї, 6 квитків спортлото і 10 квитків автомотолотереі. Скількома способами можна вибрати один квиток з спортлото або автомотолотереі?
Рішення: Так як грошово-речова лотерея у виборі участі не бере, то всього 6 +10 = 16 варіантів.
Правило добутку
Якщо елемент X можна вибрати k способами, а елемент Ym способами то пару (X, Y) можна вибрати k * m способами.
Тобто, якщо на першій полиці стоїть 5 книжок, а на другій 10, то вибрати одну книгу з першої полиці і одну з другою можна 5 * 10 = 50 способами.
Приклади задач
Палітурник повинен переплести 12 різних книг в червоний, зелений і коричневі халепи. Скількома способами він може це зробити?
Рішення: Є 12 книг і 3 кольори, значить за правилом твори можливо 12 * 3 = 36 варіантів палітурки.
Скільки існує п'ятизначних чисел, які однаково читаються зліва направо і справа наліво?
Рішення: В таких числах остання цифра буде така ж, як і перша, а передостання - як і друга. Третя цифра буде будь-хто. Це можна представити у вигляді XYZYX , де Y та Z-будь-які цифри, а X - не нуль. Значить за правилом твори кількість цифр однаково читающихся як зліва направо, так і справа наліво одно 9 * 10 * 10 = 900 варіантів.
Пересічні безлічі
Але буває, що безлічі X і Y перетинаються, тоді користуються формулою, де X та Y - множини, а - область перетину.
Приклади задач
20 осіб знають англійську і 10 - німецький, з них 5 знають і англійську, і німецький. Скільки Людина всего?
Відповідь: 10 +20-5 = 25 чоловік.
Також часто для наочного рішення задачі застосовуються круги Ейлера. Наприклад:
З 100 туристів, які вирушають у закордонну подорож, німецькою мовою володіють 30 чоловік, англійською - 28, французькою - 42. Англійською і німецькою одночасно володіють 8 чоловік, англійською та французькою - 10, німецькою та французькою - 5, всіма трьома мовами - 3. Скільки туристів не володіють ні однією мовою?
Рішення: Висловимо умова цієї задачі графічно. Позначимо кругом тих, хто знає англійську, іншим колом - тих, хто знає французьку, і третє коло - тих, хто знають німецьку.
Всіма трьома мовами володіють три туристи, значить, в загальній частини кіл вписуємо число 3. Англійською та французькою мовою володіють 10 ...
