З Е Н О Н Е Л Е Й С К И Й, Е Г Про П А Р А Д О К С И
І П О Н Я Т І Е Б Е З К О Н Ч Н О С Т І
Піфагорійская школа. Піфагор заснував братство релігілзного, філософського і наукового характеру з політичним ухилом. Праці, приписувані зазвичай Піфагору, відносяться не тільки до легендарного Піфагору, але взагалі до праць цієї школи між 585 і 400 р. до н. е..
У своїй космологічної концепції Піфагор відмовився від моністичної ідеї первинної субстанції, породила весь Всесвіт. Його концепція дуалистична, і в напрузі між двома протилежними принципами - Обмежене - Необмежене, непарне - парне, єдине - множинне, пряме - криве, квадратне - Довгасте - Він бачив причину всякого розвитку. Мало цікавлячись матеріальними елементами, які могли б дати уявлення про генезис різних складових частин Всесвіту, Піфагор, захоплений глибоким релігійним течією, яка охопила Грецію того часу, прагнув дати глобальну картину космосу в цілому. Основу всього він бачив в числі, про що свідчить його девіз: "Все є число ".
Найбільш важливим серед приписуваних піфагорійцям відкриттів було відкриття ірраціонального у вигляді несумірних відрізків прямої лінії. Можливо, що воно було зроблено у зв'язку з дослідженням геометричного середнього а: в = В: с, величиною, яка цікавила піфагорійців і служила символом аристократії. Чому одно геометричне середнє одиниці і двійки, двох священних символів? Це вело до вивчення відносини сторін і діагоналі квадрата, і було виявлено, що таке ставлення не виражається "Числом", то є тим, що ми тепер називаємо раціональним числом (цілим числом або дробом), а тільки такі числа допускалися піфагорейської арифметикою. Іншими словами, ірраціональні числа були відкриті, коли стало ясно, що деякі відносини не можна виразити за допомогою цілих чисел. Це відкриття ознаменувало крах піфагорейської точки зору про уявність світу за допомогою цілих чисел і викликало перший криза в історії математики.
Елейська школа . Вплив елейскої школи (V в. до н.е.) на формування абстрактної наукової думки величезно. Засновник цієї школи, Парменід, був першим, хто строго розрізняв чуттєве і умопостигаемое, що призвело до неминучої конфронтації між досвідом і вимогам розуму. саме тому елеати не прийняли пифагорейскую доктрину, яка ставить у відповідність всякої речі число. якщо дискретні об'єкти можна представити цілими числами. то інакше обстоїть справа в разі безперервних величин, таких, як довжини, площі, обсяги і.т.д., які в загальному випадку можна інтерпретувати як дискретні набори одиниць, лише якщо допускати існування нескінченного числа дуже малих елементів, з яких ці об'єкти складаються. В якості реакції на цю останню концепцію Зенон Елейський (нар. між 495 і 480 рр.. до н.е.) сформулював чотири парадоксу, ілюструють неможливість нескінченної подільності і всякого руху, якщо мислити простір і час складаються з неподільних частин. Загальна мета його аргументів показати ті безглуздості, до яким приходять, коли намагаються отримати безперервні величини з нескінченно малих частинок, взятих у нескінченному множині.
Обчислення нескінченно малих веде свій початок від інтуїтивного представлення греків про безперервність, математичної нескінченності і межі, а також від тих труднощів, з якими вони зіткнулися при спробах явно визначити ці поняття. Ці три поняття були коректно визначені лише в XIX ст., коли математики захотіли систематизувати досягнення своєї науки, і їм довелося переглянути підстави, щоб підвести під математичне будівля міцний фундамент.
Числа і геометричні величини. Ми бачили, що піфагорійці уподібнювали числа геометричним точкам: одиницю - Одній точці, деякий інше число - Групі точок, утворюючих деяку геометричну фігуру. Кожне число у них було дискретним набором одиниць; таким чином, пифагорейская арифметика обмежувалася вивченням позитивних цілих чисел і відносин цілих чисел, які не вважалися числами.
Будь-яка безперервна величина - лінія, поверхню, тіло - могла бути ототожнена з деяким відповідним їй числом - "Кількістю" (довжина, площа, об'єм). Подібно до того як одиниця була загальною заходом цілих чисел, величини повинні були мати загальну одиницю виміру - Бути з про і із м е р і м и м і - і кожна величина ототожнювалася з цілим числом складових її одиниць. Ця спроба ототожнити цілі числа з безперервними величинами, інтерпретувати безперервне в термінах дискретного ні до чого не привела і швидко провалилася. Вирішальну роль, як уже говорилося, в цьому зіграло відкриття ірраціональних чісел.В квадраті зі стороною 1 відношення діагоналі до стороні одно; воно не виражається у вигляді відносин цілих чисел і, значить, взагалі не має статусу в піфагорейської арифметиці. Сторона і діагональ не мають загальної одиниці виміру і називаються н е з про і із м е р і м и м і. Взаємне відповідність між величиною і числом, знайоме піфагорійцям, виявилося порушеним. Якщо кожному числу відповідає якась довжина, то які числа потрібно зіставити непорівнянним величинам?
Парадокси Зенона і поняття нескінченності. Саме у зв'язку з відкриттям несумірних величин в грецьку математику проникло поняття нескінченності. У своїх пошуках загальної одиниці вимірювання для всіх величин грецькі геометри могли б розглянути нескінченно ділені величини, але ідея нескінченності приводила їх в глибоке сум'яття. Якщо навіть міркування про нескінченне проходили успішно, греки в своїх математичних теоріях завжди намагалися його обійти і виключити. Їх труднощі перед явним виразом абстрактних понять нескінченного і безперервного, протилежних поняттям кінцевого і дискретного, яскраво проявилися в парадоксах Зенона елейскої.
Доводами Зенона були "Апорії" (тупики) ; Вони повинні були продемонструвати, що обидва припущення заводять в тупік. Ці парадокси відомі під назвою А х і л л е с, С т р е л а, Д і х о т о м і я (поділ на два) і С т а д і о н. Вони сформульовані так, щоб підкреслити протиріччя в поняттях руху і часу, але це зовсім не спроба дозволити такі суперечності.
Апорія "Ахілл і черепаха " протистоїть ідеї нескінченної подільності простору і часу. Бистроногій Ахілл змагається в бігу з черепахою і благородно надає їй фору. Поки він пробіжить відстань, відділяє його від точки відправлення черепахи, остання проповзе далі; відстань між Ахіллом і черепахою скоротилося, але черепаха зберігає перевага. Поки Ахілл пробіжить відстань, відділяє його від черепахи, черепаха знову проповзе ще трохи вперед, і т. д. Якщо простір нескінченно ділено, Ахілл ніколи не зможе наздогнати черепаху. Цей парадокс побудований на труднощі підсумовування нескінченного числа все більш малих величин і неможливості інтуїтивно представити собі, що ця сума дорівнює кінцевою величиною.
Ще більш явним цей момент стає в апорії "Дихотомія": перш ніж пройти деякий відрізок, що рухається тіло спочатку повинно пройти половину цього відрізка, потім половину половини, і так далі до нескінченності. Зенон подумки будує ряд 1/2 + (1/2) 2 + (1/2) 3 + ..., Сума якого дорівнює 1, але йому не вдається інтуїтивно осягнути зміст цього поняття. Сучасні представлення про межу і збіжності ряду дозволяють стверджувати, що починаючи з деякого моменту відстань між Ахіллом і черепахою стане менше якого заданого числа , вибраного як завгодно малим.
Парадокс "Стріла" заснований на припущенні, що простір і час складено з неподільних елементів, скажімо "точок" і "моментів". У якийсь "момент" свого польоту стріла перебуває в деякій "Точці" простору в нерухомому стані. Оскільки це вірно в кожен момент її польоту, стріла взагалі не може перебувати в русі.
Тут торкнуться питання про миттєвої швидкості. Яке значення слід додати відношенню x/t пройденого відстані x до інтервалу часу t , Коли величина t стає дуже малою ? Нездатні представити собі мінімум, відмінний від нуля, стародавні надали йому значення нуль. Нині за допомогою поняття краю правильний відповідь знаходиться негайно : Миттєва швидкість є межа відносини x/t при t, прагнучому до нуля
Таким чином, всі ці парадокси пов'язані з поняттям межі; воно стало центральним поняттям обчислення нескінченно малих.
Парадокси Зенона відомі нам завдяки Аристотелю, який привів їх в своєї "Фізиці", щоб піддати критиці. Він розрізняє нескінченність щодо складання та нескінченність щодо ділення і встановлює, що континуум нескінченно ділимо. Час теж нескінченно ділимо, і в кінцевий інтервал часу можна пройти нескінченно ділене відстань. Парадокс "Стріла", який "є наслідком припущення, що час складено з моментів ", стає безглуздим, якщо прийняти, що час нескінченно ділено.
Список літератури
1. Цейтен Г.Г. Історія математики в давнину і в середні століття. М.-Л., 1932
2. Стройк Д.Я. Короткий нарис історії математики. М., Наука, 1978
3. Богомолов С.А. Актуальна нескінченність. М.-Л., 1934
<Орлов Святослав Григорович, РДГУ, 1 курс, предмет: "Історія матаматікі ", 1996>
