ВОЛОГОДСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
Курсова робота на тему:
В«Інтеграл ЛебегаВ»
Виконала: студентка 3мфА
Сенченко Ю. В.
Перевірила: Панфілова Т. Л.
Вологда
2000
Зміст.
1. Введення.
1.1.Простие функції.
1.2.ІнтегралЛебега від простих функцій.
2. Визначення інтнгралаЛебега.
3. Основні властивості інтеграла.
4. Граничний перехід під знаком інтеграла.
5. Порівняння інтегралів Рімана і Лебега.
6. Приклади.
7. Література.
1. Введення
Поняття інтеграла Рімана, відоме з елементарного курсу аналізу, застосовано лише до таких функцій, які або безупинні або мають В«не занадто багато В»точок розриву. Для вимірних функцій, які можуть бути розривні усюди, де вони визначені (або ж взагалі можуть бути задані на абстрактному багато, бо для них поняття безперервності просто не має сенсу), рімановская конструкція інтеграла стає непридатною. Разом з тим для таких функцій є вельми вчинене і гнучке поняття інтеграла, введене Лебегом.
Основна ідея побудови інтеграла Лебега полягає в тому, що тут, на відміну від інтеграла Рімана, точки х групуються не за ознакою їхньої близькості на осі х, а за ознакою близькості значень функції в цих точках. Це відразу ж дозволяє поширити поняття інтеграла на вельми широкий клас функцій.
Крім того, інтеграл Лебега визначається абсолютно однаково для функцій, заданих на будь-яких просторах з мірою, в той час як інтеграл Рімана вводиться спочатку для функцій одного змінного, а потім вже з відповідними змінами переноситься на випадок декількох змінних. Для функцій же на абстрактних просторах з мірою інтеграл Рімана взагалі не має сенсу.
Усюди, де не обумовлено протилежне, буде розглядатися деяка повна s-адитивна міра m, визначена на s-алгебрі множин з одиницею X. Всі розглянуті безлічі А ГЊ Х будуть передбачатися вимірними, а функції f ( x) - визначеними для x ГЋ Х і вимірними.
1.1. Прості функції.
Визначення 1. Функція f ( x), визначена на деякому просторі Х з заданої на ньому заходом, називається простий, якщо вона вимірна і приймає не більше, ніж рахункове число значень.
Структура простих функцій характеризується наступною теоремою.
Теорема 1. Функція f ( x), приймаюча не більше ніж рахункове число різних значень
y 1 , y 2 , ..., y n , ...,
вимірно в тому і тільки тому випадку, якщо всі множини
A n = {x: | (x) = y n }
вимірні.
Доказ. Необхідність умови ясна, так як кожне A n є прообраз одноточкового безлічі { y n }, а всяке одноточечную безліч є борелевскім. Достатність випливає з того, що в умовах теореми прообраз f -1 ( B) будь-якого борелевского безлічі є об'єднання не більш ніж рахункового числа вимірних множин A n , тобто виміряємо.
Використання простих функцій у побудові інтеграла Лебега буде засноване на наступній теоремі.
Теорема 2. Для вимірності функції f ( x) необхідно і достатньо, щоб вона могла бути представлена ​​у вигляді межі рівномірно збіжної послідовності простих вимірних функцій.
Доказ. Для доказу необхідності розглянемо довільну вимірну функцію f ( x) і покладемо f n (х) = m/п, якщо т/п f ( x) <( m +1) / n (тут т - цілі, а п - цілі позитивні). Ясно, що функції f n ( x) прості; при п В® вони рівномірно сходяться до f ( x), так як Г§ f ( x) - f n ( x) Г§ ВЈ 1/ n.
1.2.Інтеграл Лебега для простих функцій.
Ми введемо поняття інтеграла Лебега спочатку для функцій, названих вище простими, тобто для вимірних функцій, що приймають кінцеве або рахункове число значень.
Нехай f- деяка проста функція, приймаюча зна-чення
y 1 , y 2 , ..., y n , ...; y i y j при ij ,
і нехай А - деякий вимірне підмножина X.
Природно визначити інтеграл від функції f по безлічі А рівністю
=, де A n = { x: xA, f ( x) = y n }, (1) якщо ряд справа сходиться. Ми приходимо до наступного визначення (в якому зі зрозумілих причин заздалегідь постулюється абсолютна збіжність ряду).
Визначення 2. Проста функція f називається интегрируемой або сумовною (в міру m) на безлічі A, якщо ряд (1) абсолютно сходиться. Якщо f интегрируема, то сума ряду (1) називається інтегралом від f по безлічі А.
У цьому визначенні передбачається, що всі у n різні. Можна, однак, уявити значення інтеграла від простої функції у вигляді суми добутків виду c k m (B k ) і не припускаючи, що всі c k різні. Це дозволяє зробити наступна лема.
Лемма . Нехай А = , B i B < sub> j = Г† при ij і нехай на кожному безлічі B k функція f приймає тільки одне значення c k ; тоді
= , (2) причому функція f інтегровна на А в тому і тільки тому випадку, коли ряд (2) абсолютно сходиться.
Доказ . Легко бачити, що кожне безліч
А n = {х: х ГЋА, f ( x) = y n }
є об'єднанням тих B k , для яких з k = y n . Тому
= = .
Так як міра неотрицательна, то
= = ,
т. тобто ряди і абсолютно сходяться або розходяться одночасно. Лема доведена.
Встановимо деякі властивості інтеграла Лебега від простих функцій
A) = +,
причому з існування інтегралів у правій частині рівності слід існування інтеграла у лівій.
Для доказу припустимо, що f приймає значення f i на множинах F i ГЊ A, a g - значення g j на множинах G j ГЊ A , так що
J 1 = = , (3)
J 2 = = . (4)
Тоді в силу леми
J = = ; (5)
так що з абсолютної збіжності рядів (3) і (4) випливає і абсолютна збіжність ряду (5); при цьому
J = J
