Теоретичні питання
Поняття первісної функції. Теорема про первісних.
Основним завданням диференціального числення є знаходження похідної f '( x) або диференціала df = f '( x) dx функції f ( x). В інтегральному численні вирішується зворотна задача. За заданої функції f ( x ) потрібно знайти таку функцію F ( x), що F '(х) = f ( x) або dF ( x) = F '( x) dx = f ( x) dx.
Таким чином, основним завданням інтегрального числення є відновлення функції F ( x) за відомою похідною (диференціалу) цієї функції. Інтегральне числення має численні додатки в геометрії, механіці, фізиці і техніці. Воно дає загальний метод знаходження площ, об'ємів, центрів тяжіння і т. д..
Визначення. Функція F ( x),, називається первісною для функції f ( x) на множині Х, якщо вона дифференцируема для будь-якого і F '( x) = f ( x) або dF ( x) = f ( x) dx.
Теорема. Будь безперервна на відрізку [ a; b] функція f ( x) має на цьому відрізку первісну F (x).
Теорема. Якщо F 1 ( x) і F 2 ( x) - дві різні первісні однієї і тієї ж функції f ( x) на множині х, то вони відрізняються один від одного постійним доданком, тобто F 2 ( x) = F 1 x) + C, де С - постійна .
Невизначений інтеграл, його властивості.
Визначення. Сукупність F ( x) + C всіх первісних функції f ( x) на множині Х називається невизначеним інтегралом і позначається:
- (1)
У формулі (1) f ( x) dx називається подинтегральних виразом, f ( x) - Підінтегральна функція, х - змінною інтегрування, а С - постійної інтегрування.
Розглянемо властивості невизначеного інтеграла, що випливають з його визначення.
1. Похідна з невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральних функції, диференціал невизначеного інтеграла дорівнює подинтегральних висловом:
і.
2. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:
3. Постійний множник а (а в‰ 0) можна виносити за знак невизначеного інтеграла:
4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми скінченної кількості функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:
5. Якщо F ( x) - Первообразная функції f ( x), то:
6 (інваріантність формул інтегрування). Будь формула інтегрування зберігає свій вигляд, якщо змінну інтегрування замінити будь дифференцируемой функцією цієї змінної:
де u - дифференцируемая функція.
Таблиця невизначених інтегралів.
Наведемо основні правила інтегрування функцій.
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів. (Відзначимо, що тут, як і в диференціальному обчисленні, літера u може позначати як незалежну змінну ( u = x) , так і функцію від незалежної змінної ( u = u ( x)) .)
1. ( n в‰ -1).
2. (a> 0, a в‰ 1).
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14. (a в‰ 0).
15. (a в‰ 0).
16. (| u |> | a |).
17. (| U | <| a |).
18.
19.
Інтеграли 1 - 17 називають табличними.
Деякі з наведених вище формул таблиці інтегралів, що не мають аналога в таблиці похідних, перевіряються диференціюванням їх правих частин.
Заміна змінної та інтегрування по частинах в невизначеному інтегралі.
Інтегрування підстановкою (заміна змінної). Нехай потрібно обчислити інтеграл, який не є табличним. Суть методу підстановки полягає в тому, що в інтегралі змінну х замінюють змінної t за формулою x = П† ( t), звідки dx = П† '( t) dt.
Теорема. Нехай функція x = П† ( t) визначена і диференційована на деякій множині Т і нехай Х - безліч значень цієї функції, на якому визначена функція f ( x). Тоді якщо на безлічі Х функція f ( x) має первісну, то на безлічі Т справедлива формула:
- (2)
Формула (1) називається формулою заміни змінної у невизначеному інтегралі.
Інтегрування по частинах. Метод інтегрування частинами випливає з формули диференціала добутку двох функцій. Нехай u ( x) і v ( x) - дві диференційовні функції змінної х . Тоді:
d (uv) = udv + vdu. - (3)
Інтегруючи обидві частини рівності (3), отримуємо:
Але так як, то:
- (4)
Співвідношення (4) називається формулою інтегрування частинами . За допомогою цієї формули відшукання інтегралу. Застосовувати її доцільно, коли інтеграл у правій частині формули (4) більш простий для обчислення, ніж вихідний.
В формулою (4) відсутня довільна стала З , так як в правій частини цієї формули варто невизначений інтеграл, що містить довільну постійну.
Наведемо деякі часто зустрічаються типи інтегралів, обчислюваних методом інтегрування по частинах.
I. Інтеграли виду,, ( P n ( x) - багаточлен ступеня n, k - деяке число). Щоб знайти ці інтеграли, достатньо покласти u = P n ( x) і застосувати формулу (4) n раз.
II. Інтеграли виду,,,, (Pn (x) - багаточлен ступеня n щодо х ). Їх можна знайти по частим, беручи за u функцію, яка є множником при P n ( x).
III. Інтеграли виду, ( a, b - числа). Вони обчислюються дворазовим інтегруванням по частинам.
5. Розкладання дробової раціональної функції на найпростіші дроби.
Раціональною дробом R ( x) називається дріб, чисельником і знаменником якої є многочлени, т. Е. всяка дріб виду:
Якщо ступінь многочлена в чисельнику більше або дорівнює ступеню многочлена в знаменнику ( n ≥ m) , то дріб називається неправильної . Якщо ступінь многочлена в чисельнику менше ступеня многочлена в знаменнику ( n ≤ m) , то дріб називається правильною.
Усяку неправильну раціональну дріб можна представити у вигляді суми многочлена (Цілої частини) і правильної раціональної дробу (це подання досягається шляхом ділення чисельника на знаменник за правилом ділення многочленів):
де R ( x) - многочлен-приватне (Ціла частина) дробу; ...
