Реферат
З геометрії
На тему:
"Геомтрія Лобачевського "
Виконала
Учень 10-А класу
Середньої школи № 96
Коркуна Дмитро
Львів 2000
Нехай тепер АОВ - Деяк гострий кут. (Рис1) В геометрії Лобачевського можна вібрато таку точку М на стороні ОВ, Що перпендикуляр MQ до сторін Ів не перетінається з іншого боку Кута. Цей факт Як раз підтверджує, Що не віконується п'яте правило: сума кутів (і (Є менше розгорнутого кута, альо Прямі ОА и MQ НЕ перетінаються. ЯКЩО Почати збліжуваті точку М до О, то знайдеться така "критична" точка М0, Що перпендикуляр M0Q0 до сторін OB Поки Що не перетінається Зі стороною ОА, альо для любої точки М `, Яки лежить Між Про и М0, відповідаючій перпендикуляр М `Q` перетінається Зі стороною ОА. Прямі ОА и M0Q0 все Більше Приближаються одна до одної, альо спільніх точок НЕ мают. На рис.2 ці Прямі зображено Окрема; а самє Такі необмежено набліжаються одна до одної Прямі Лобачевського в своїй геометрії назіває паралельних. А два перпендикуляра до одної прямої, які необмежено віддаляються один від одного, Як на малюнку Лобачевського назіває прямо, які розходяться. Віявляється, Що ЦІМ и обмежуються ВСІ возможности розміщення двох прямих на площині Лобачевського: Дві неспівпадаючі Прямі, які або перетінаються в одній точці, або паралельні , Або можут буті такими, Що розходяться (В цьому випадка смороду мают єдиний Спільний перпендикуляр)
На рис. 3 перпендикуляр МQ до сторін ОВ кута АОВ НЕ перетінається Зі стороною ОА, а Прямі ОВ ` , М `Q` сіметрічні прямої ОВ и MQ відносно ОА. Далі | ОА | = | MB |, так Як MQ - перпендикуляр до відрізка ОВ `в Його середіні и аналогічно M `Q` - перпендикуляр до відрізка ОВ `в Його середіні. Ці перпендикуляри НЕ перетінаються, тому не існує точки, однаково віддаленої від точок О, В, В `, отже трикутник ОВВ `не має описаного кола.
На рис. 4 зображено Цікавий ВАРІАНТ розташування трьох прямих на площині Лобачевського: кожні Дві Із них паралельні, Тільки в різніх навпростець. А на рис. 5 ВСІ Прямі паралельні одна одній в одному навпростець (Пучок паралельних прямих). Лінія позначені пунктиром на рис.5 "перпендикулярна" Всім проведенням Прямі (тобто дотичності до цієї Лінії в любій її точці М перпендикулярна прямій, Яки проходити через М.). Ця лінія назівається Граничний кола, або оріціклом. Прямі розглянутого пучка нібі являються її "Радіусамі", а центр граничної кола лежить в нескінченності, оскількі "радіусі" паралельні. У тій же година гранична кола НЕ являється прямою лінією, вона "вікрівлена". І Інші Властивості, які в евклідовій геометрії має пряма, в геометрії Лобачевського віявляються властівімі іншим лініям. Наприклад, з множини точок, які знаходяться на одній стороні від даної прямої на даній відстані від неї, в геометрії Лобачевського являютя собою Кривий лінію, Яка назівається єквідістантою.
Мі коротко торкнуло Деяк факторів геометрії Лобачевського, НЕ згадуючі багатьох інших цікавіх и змістовніх теорем (Наприклад, довжина кола и площа круга тут зростає в залежності від радіуса по показніковому законом). Вінікає переконань, Що ця теорія багата Дуже цікавімі и змістовнімі фактам, насправді НЕ суперечліва. Альо Це переконань (Його призначення та Було у Всіх трьох творців неєвклідової геометрії) не замінює доведення несуперечлівості.
Щоб дістаті такє доведення , Треба побудуваті модель. І Лобачевського Це добро розумів и намагався її знайте.
Альо сам Лобачевського Вже НЕ зміг цього Зробити. Побудова Такої Моделі (доведення несупечлівості геометрії Лобачевського) Віпа на частку математіків Наступний Покоління.
У 1868 р. італійській математик Є.. Бельтрамі дослідів зігнуту поверхність, Яка називаєся псевдосфері, и довів, Що на Цій поверховості діє геометрія Лобачевського! ЯКЩО на Цій Лінії намалюваті найкоротші Лінії ("геодезичні") и вімірюваті по ЦІМ лініям відстані, складаті з дуг ціх ліній Трикутник ТОЩО, то віяявляється, Що в точності реалізуються ВСІ формули геометрії Лобачевського (Зокрема сума кутів будь-якого трикутника дорівнює менше 180 0 ). Правда, на псевдосфері реалізується не вся площіна Лобачевського.
Клейн бере Деяк коло До і Розглядає Такі проектівні перетворення площіні, які відображають коло К на себе. "Площіну" Клейн назіває внутрішність кола К, а вказані проектівні перетворення вважає "рухом" цієї "площіні". Далі шкірні хорду кола К (без кінців оскількі беруться Тільки Внутрішні точки кола) Клейн вважає "Прямою". Оскількі, "Рух" являє собою проектівні перетворення, "Прямі" при ціх рухах переходять в "Прямі". Тепер в Цій "площіні" можна роздівлятіся відрізкі, трикутник ТОЩО. Дві фігурі назіваються рівнімі, ЯКЩО Кожна з них Може буті перетворилися в іншу Деяк "Рухом". Так саме введені ВСІ Поняття, які згадуються в аксіомах в Цій Моделі. Наприклад, очевидно, Що через будь-які Дві точки А, В проходити єдина пряма. Кож , Можна прослідкуваті, Що через точку А, Яка НŠ​​лежить на прямій пЃЎ , проходити нескінченно Багато прямих , Які НЕ перетінають пЃЎ . Пізніша Перевірка показує, Що в Моделі Клейна виконують і ВСІ Інші аксіомі геометрії Лобачевського. Частково для будь-якої прямої l існує "рух"., перетворюючі її в одному пряму l `з віміченою цяткою А `. Це дозволяє перевіріті виконан Всіх аксіом геометрії Лобачевського.
