Введення.
У своїй діяльності людині всюди доводиться зіштовхуватися з необхідністю вивчати форму, розміри, взаємне розташування просторових фігур. Подібні завдання вирішують і астрономи, які мають справу з самими великими масштабами, і фізики, що досліджують структуру атомів і молекул. Розділ геометрії, в якому вивчаються такі завдання, називається стереометрії (від грецького В«стереосВ» - об'ємний, просторовий).
Може здатися парадоксальним, але фактично поняття В«площинуВ» в планіметрії-геометрії на площині - не потрібно. Адже якщо ми, наприклад, говоримо, що в площині багатокутника дана точка, ми тим самим маємо на увазі, що такі точки існують і поза цієї площини. У планіметрії таке припущення зайві: все відбувається в одній і тій же єдиною площині. У стереометрії нам доводиться мати справу вже з кількома площинами. В кожній з них зберігають свою силу усі відомі з планіметрії визначення і теореми, що відносяться до точок, прямих, відстаням і т.д., але властивості самих площин необхідно описувати окремо.
План.
I. Основні аксіоми стереометрії --------------- 4 II . Прямі, площини, паралельність ------------ 6
III . Зображення просторових фігур ------ 7 IV . Перпендикулярність. Кути. Відстані ----- 12 V . Кілька завдань на побудова, уяву, зображення і міркування ------------------------ 17
I.Основние аксіоми стереометрії
Отже, в стереометрії до основних поняттями планіметрії додається ще одне - площина, а разом з ним - аксіоми, що регулюють В«взаєминиВ» площин з іншими об'єктами геометрії. Таких аксіом три.
Перша- аксіома виходу в простір - надає В«театру геометричних дійВ» нове, третє вимір:
В· Є чотири точки, не лежать в одній площині (рис. 1)
Рис. 1
Таким чином, не всі точки знаходяться в одній площині. Але цього недостатньо. Потрібно, щоб різних площин було нескінченно багато. Це забезпечується другий аксіомою-
аксіомою площині :
В· Через будь-які три точки проходить площину.
З третьої аксіомою ми стикаємося, коли складаємо фігурки з паперу: всі знають, що, утворюються при цьому лінії згину - прямі.
Аксіома перетину площин звучить так:
В·
Рис. 2
Якщо дві площини мають спільну точку, то їх перетин є пряма. В· (рис.2)
Звідси випливає: якщо три точки лежать на одній прямій, то проходить через них площину єдина.
Дійсно, якщо через якісь три точки проходять дві різні площини, то через ці точки можна провести пряму, а саме пряму, по якій площині перетинаються. Відзначимо, що останнім властивість саме нерідко включається в аксіоми.
Третя аксіома грає дуже істотну і неочевидну з першого погляду роль в стереометрії: вона робить простір в точності тривимірним, тому що в просторах розмірності чотири і вище площини можуть перетинатися по одній точці. До трьом вказаним так само приєднуються планометріческіе аксіоми, переосмислення і підправлені з урахуванням того, що тепер ми маємо справу не з однією, а з декількома площинами. Наприклад, аксіому прямий - через дві різні точки можна провести одну і тільки одну пряму - переносять в стереометрию дослівно, але тільки вона вже поширюється на дві точки простору.
В Як слідства виведемо прямо з аксіом одну корисну слідство: пряма, що має з площиною хоча б дві спільні точки, цілком лежить в цій площині.
ОІ
О±
Рис. 3
B
A
.
.
. C
l
Нехай пряма
l проходить через точки
А і
В площині
О± (рис. 3). Поза площиною
О± є хоча б одна точка
З (по аксіомі виходу в простір). Відповідно до аксіомою площині через
А ,
В і
З можна провести площину
ОІ . Вона відмінна від площини
О± , так як містить
З і має з
О± два загальні точки. Значить,
ОІ перетинається з
О± по прямій, якої, як і
l , належать
А ,
В . По аксіомі прямий, лінія перетину площин збігається з
l . Але ця лінія лежить в площині
О± , що і вимагалося довести.
Шляхом нескладних доказів ми знаходимо, що:
В· На кожній площині виконуються всі затверджений-ня планіметрії.
II . Прямі, площини, паралельність.
Вже таке основне поняття, як паралельність прямих, потребує новому визначенні:
дві прямі в просторі називаються парал-лельнилт, якщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок. Так що не потрапляй-тесь в одну з улюблених екзаменаторами пасток - не намагайтеся В«доводитиВ», що через дві паралельні прямі можна провести площину: це вірно по визначенню паралельності прямих! Знамениту планиметрическую аксіому про єдиності паралельної включають і в аксіоми стереометрії, а з її допомогою доводять головне властивість паралельних прямих у просторі:
В· Через точку, не лежить на прямій, можна провести одну і тільки одну пряму паралельно даній.
Зберігається й інше важливе властивість паралельних прямих, зване транзитивних паралельності:
В· Якщо дві ...
