Запитайте свого колегу, або знайомого, або учня: В«Яка древня книга зробила найбільшу вплив на розвиток європейської цивілізації? В». Не думаю, що відповіді будуть відрізнятися великою різноманітністю, але навряд хтось згадає про В«ПочаткахВ» Евкліда. А адже саме з цієї книзі (або по її обробкам ) Навчалися всі творці сучасної математики: Декарт і Ферма, Ньютон і Лейбніц, Колмогоров і Понтрягин ... Всіх не перерахуєш.
Не можна сказати, що протягом багатьох століть не з'являлися інші зводи математичних знань, але всі вони забувалися і знову витіснялися В«ПочаткамиВ» Евкліда. З 1482 р. вона видавалася більше 500 разів на самих різних мовах.
Можна з упевненістю стверджувати, що всі сучасні так звані точні науки виросли з давньогрецької науки, тобто з В«ПочаткахВ» Евкліда - самого стародавнього зводу математичних знань, який дійшов до нашого часу.
Так хто ж був Евклід? Дослідник, енциклопедист, методист? На жаль, про життя цього знаменитого вченого збереглося вкрай мало відомостей. Роки його життя відносять до проміжку часу приблизно між 365 і 300 рр.. до н.е.
Відомо, що Евклід був запрошений в Олександрію царем Птолемеєм I Сотером для організації математичної школи і викладав там математику. Відомо, що він навчався в платонівської Академії в Афінах.
Отже, які ж праці Евкліда нам відомі?
Крім В«ПочавВ» до нас дійшли, хоча й у сильно перекрученому вигляді, трактати В«ОптикаВ» і В«КатоптрикаВ». У В«ОптиціВ» Евклід формулює і доводить правило В«кут падіння дорівнює куту відбиття В», а в В«КатоптриціВ» він виводить, спираючись на це правило, закони відбиття від опуклих і увігнутих дзеркал. У цих трактатах міститься перше в історії виклад геометричної оптики. Крім того, Евкліду належить твір по математичної астрономії В«ЯвищаВ», йому також приписується твір В«Перетин канонуВ» з теорії музики.
-->> Під всіх цих творах Евклід спочатку постулює деякі властивості досліджуваних об'єктів (наприклад, те, що світло поширюється по прямій) і необхідні математичні відомості, а потім на цій основі дедуктивно будує излагаемую теорію.
Евкліду належать твори про конічних перетинах (тобто еліпсі, гіперболі, параболі) і В«Про поверхневих місцях В», які до нас дійшли.
В арабському перекладі нам відомо твір Евкліда В«Про діленні фігур В»
Але головною працею Евкліда, безсумнівно, є В«ПочаткиВ» (В 13 книгах). Він зібрав і систематизував сучасну йому математику, строго дедуктивно виклавши її в цьому об'ємному працю.
Нижче описані найбільш цікаві, з точки зору сучасної математики, досягнення Евкліда і його попередників, викладені в В«ПочаткахВ».
Теорема Евкліда.
Пропозиція, про який йде мова, викладено в IX книзі В«ПочаткиВ». Воно формулюється так:
безліч простих чисел нескінченно.
Доказ дуже просто: якби безліч всіх простих чисел було кінцевим, то, перемноживши їх все і додавши одиницю, ми отримали б нове число, яке не ділиться ні на одне з відомих простих чисел і, отже, просте.
Алгоритм Евкліда.
Всім відомий алгоритм Евкліда знаходження загальної міри відрізків. Він полягає в наступному.
Нехай є два відрізки нерівної довжини A і В, причому, наприклад, А більше В. Відкладемо відрізок В на відрізку А стільки разів, скільки вийде (мал. 1).
Тоді А = n 0 B + C 1 , де C 1 <В.
Тепер беремо відрізки В і C 1 і повторюємо з ними ту ж операцію: В = n 1 C 1 + C 2 , де C 2 1 (Рис. 2).
А
З 1
В В В
n 0 раз
(Рис. 1)
В
З 1 З 1 З 2
n 1 раз.
( рис. 2)
Повторюючи цю операцію багато разів, ми або коли-небудь отримаємо нульовий відрізок-залишок C m = n m +1 C m +1 + 0 відрізок C m +1 виявиться загальної мірою відрізків А та В, або процес відкладання відрізків ніколи не закінчиться.
В останньому випадку говорять, що відрізки А і В непорівнянні (Тобто не мають загальної міри). Числа n 0 , n 1 , ... Називаються В«Неповними приватними В».
Якщо виявлена загальна міра величин А і В і вона дорівнює деякої величині D, то А = О»D, B = ОјD і відношення А і В є відношення О» до Ој.
Цікаво, що Евклід побудував алгоритм окремо для чисел (тобто натуральних чисел) і окремо для відрізків (Величин).
Отже, алгоритм Евкліда дозволяє не тільки знаходити загальну міру ( НОД) двох чисел, скорочувати на НОД дробу, але і В«округлятиВ» раціональні числа.
Теорія відносин Евдокса.
В В«ПочаткахВ» викладена інша теорія відносин, створена Евдоксом. Вона відповідала на питання: як можна порівнювати відносини чисел і що відбувається з ними в результаті арифметичних операцій?
Два відносини a/b і c/d вважаються рівними, якщо для будь-яких натуральних чисел М, N виконуються умови:
aM> BN cM> dN,
aM = BN cM = dN,
aM
Такий підхід до порівняння відносин був революційним проривом в побудові теорії дійсного числа (поки тільки для раціональних позитивних чисел).
Теорія іррациональностей.
Мабуть, саме алгоритм Евкліда привів піфагорійця до встановлення несумірності сторони і діагоналі квадрата (тобто ірраціональності числа в€љ 2). Це відкриття істотно вплинуло на подальше розвиток і математики, і філософії. Воно показало, що хибна основний принцип піфагорійців В«Все є числоВ». Вони вважали, що всяку величину можна виразити числом (Натуральним ) Чи відношенням чисел, але виявилося, що діагональ квадрата зі стороною 1 не виражалася ставленням чисел.
Теетет Афінський розвинув цей підхід і довів, що квадратні корені з квадратних чисел раціональні, а з неквадратних - Ірраціональні. Крім того, кубічні корені з кубічних чисел раціональні, а з некубіческіх - Ірраціональні.
Більш того, він класифікував деякі типи іррациональностей, які можна побудувати з допомогою циркуля і лінійки.
Геометрична алгебра.
Важливим досягненням античної математики стало створення так званої геометричної алгебри, зачатки якої малися ще у вавілонян.
Ми знаємо, що в Стародавній Греції не було можливості записувати буквами алгебраїчні формули і рівняння. Крім того, великі проблеми виникали при операціях з натуральними числами. Античні математики обійшли цю проблему, перевівши всі алгебраїчні вираження першої та другої ступеня на геометричний мову. Все побудови були планіметричними.
Мабуть, саме алгебраїчними потребами пояснюється настільки бурхливе розвиток планіметрії в античності.
Платонова тіла.
В останньої, XIII книзі В«ПочаткиВ» описуються побудова і властивості правильних багатогранників - Тетраедра, гексаедр, октаедра, Додекаедр, ікосаедра.
І Евклід не просто описав правильні багатогранники, але й досліджував їх властивості. Він знайшов відносини довжин ребер всіх правильних багатогранників до діаметру описаної близько многогранника сфери.
Більш того, він запропонував способи побудови правильних багатогранників, вписаних в сферу даного діаметра.
Вчення про гармонію.
Ще піфагорійці знали, що якщо висоти звуку відносяться як невеликі цілі числа, то поєднання звуків буде приємним, гармонійним. Так, відношення висот 1:2 дає музичний інтервал, званий октавою, відношення 2:3 - дає квінту, 3:4 кварту. Для того щоб підвищити на квінту звук, наприклад, коливної струни, треба зменшити її довжину на 1/3, змусивши звучати що залишилися 2/3 струни, при цьому частота коливань струни збільшиться в 1/(2/3) рази. А для підвищення звуку на кварту треба витягти звук з 3/4 струни, тобто частота коливань буде в 4/3 рази вище частоти коливань основного тону. Виходячи з цього, можна побудувати музичну шкалу.
Першим точними розрахунками музичної шкали став Архит Тарентський. Евклід продовжив його традицію і виклав вчення про гармонію в В«Перетині канонуВ» і - частково - в В«ПочаткахВ».
Список використовуваної літератури.
Науково-теоретичний і методичний журнал В«Математика в школі В»№ 4 2001. Видавництво В«Школа-ПрессВ».