Міністерство загальної та професійної освіти Російської федерації.
Уральський Державний Технічний Університет - УПІ.
Реферат
ОБЧИСЛЕННЯ КООРДИНАТ ЦЕНТРУ ваги плоскої фігури.
Виконав:
Студент групи Х-149
Покровський П.В.
Перевірив:
Викладач кафедри ВМ та УМФ
Пироговська Л. М.
Єкатеринбург.
1999.
1. Координати центра ваги.
Нехай на площині Oxy дана система матеріальних точок
P 1 (x 1 , y 1 ); P 2 (x 2 , y 2 ); ... , P n (x n , y n )
c масами m 1 , m 2 , m 3 , . . . , M n .
Твори x i m i і y i m i називаються статичними моментами маси m i щодо осей Oy і Ox.
Позначимо через x c і y c координати центра ваги даної системи. Тоді координати центру ваги описаної матеріальної системи визначаються формулами:
Ці формули використовуються при відшуканні центрів тяжіння різних фігур і тіл.
2. Центр ваги плоскої фігури.
Нехай дана фігура, обмежена лініями y = f 1 (x), y = f 2 (x), x = a, x = b, являє собою матеріальну плоску фігуру. Поверхнева щільність, тобто масу одиниці площі поверхні, будемо вважати постійною і рівною d для всіх частин фігури.
Розіб'ємо дану фігуру прямими x = a, x = x 1 ,. . . , X = x n = b на смужки ширини Dx 1, Dx 2 , . . ., Dx n . Маса кожної смужки буде дорівнює добутку її площі на щільність d. Якщо кожну смужку замінити прямокутником (Рис.1) з основою Dx i і висотою f 2 (x)-f 1 (x), де x, то маса смужки буде наближено дорівнює
(i = 1, 2, ..., n).
Наближено центр ваги цієї смужки буде знаходитися в центрі відповідного прямокутника:
Замінюючи тепер кожну смужку матеріальною точкою, маса якої дорівнює масі відповідної смужки і зосереджена в центрі тяжкості цієї смужки, знайдемо наближене значення центру ваги всієї фігури:
Переходячи до межі при, отримаємо точні координати центра ваги даної фігури:
Ці формули справедливі для будь однорідної (тобто що має постійну щільність у всіх точках) плоскої фігури. Як видно, координати центра ваги не залежать від щільності d фігури (в процесі обчислення d скоротилося).
3. Координати центра ваги плоскої фігури
У попередній главі вказувалося, що координати центру ваги системи матеріальних точок P 1 , P 2 ,. . ., P n c масами m 1 , m 2 ,. . ., M n визначаються за формулами
.
У межі при інтегральні суми, що стоять в чисельник і знаменник дробу, перейдуть у подвійні інтеграли, таким чином виходять точні формули для обчислення координат центра ваги плоскої фігури:
(*)
Ці формули, виведені для плоскої фігури з поверхневою щільністю 1, залишаються в силі і для фігури, що має будь-яку іншу, постійну в всіх точках щільність g.
Якщо ж поверхнева щільність змінна:
то відповідні формули матимуть вигляд
Вирази
і
називаються статичними моментами плоскої фігури D відносно осей Oy і Ox.
Інтеграл виражає величину маси аналізованої постаті.
4. Теореми гульден.
Теорема 1.
Площа поверхні, отриманої при обертанні дуги плоскої кривої навколо осі, що лежить в площині цієї кривої і не перетинає її, дорівнює довжині дуги кривої, помноженої на довжину кола, описаного центром ваги дуги.
Теорема 2.
Обсяг тіла, отриманого при обертанні плоскої фігури навколо осі, що не перетинає її і розташованої в площині фігури, дорівнює добутку площі цієї фігури на довжину кола, описаного центром ваги фігури.
II.Прімери.
1)
Умова: Знайти координати центра ваги півкола X 2 + Y 2 = a 2 , розташованої над віссю Ox.
Рішення: Визначимо абсцису центру тяжіння:,
Знайдемо тепер ординату центру тяжіння:
2)
Умова: Визначити координати центра ваги сегмента параболи y 2 = ax, який відсікається прямий, х = а (рис. 2)
Рішення: В даному випадку тому
(так як сегмент симетричний щодо осі Ox)
3)
Умова: Визначити координати центра ваги чверті еліпса (рис. 3)
вважаючи, що поверхнева щільність у всіх точках дорівнює 1.
Рішення: За формулами (*) отримуємо:
4)
Умова:
Знайти координати центра ваги дуги ланцюгової лінії.
Рішення:
1Так як крива симетрична відносно осі Oy, то її центр тяжкості лежить на осі Oy, тобто X c = 0. Залишається знайти. Маємо тоді довжина дуги
Отже,
5)
Умова:
Користуючись теоремою гульден знайти координати центра ваги чверті кола
.
Рішення:
При обертанні чверті кола навколо осі Ох отримаємо півкулі, обсяг якого дорівнює
Згідно Друга теорема гульден, Звідси Центр ваги чверті кола лежить на осі симетрії, тобто на бісектрисі I координатного кута, а тому
III. СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
1. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. В«Вища математика у вправах і завданняхВ», частина 2, В«Вища школаВ», Москва, 1999.
2. Піскунов Н.С. В«Диференціальне та інтегральне числення для втузівВ», тому 2, В«НаукаВ», Москва, 1965
