Бета-функції 6
Бета - функції визначаються інтегралом Ейлера першого роду:
= (1.1)
сходяться при. Вважаючи = 1 - t отримаємо:
= - =
т.e. аргумент і входять в симетрично. Беручи до увагу тотожність
за формулою інтегрування почестей маємо
Звідки
= (1.2)
7
При цілому b = n послідовно застосовуючи (1.2)
Отримаємо
(1.3)
при цілих = m, = n, маємо
але B (1,1) = 1, отже:
Покладемо в (1.1). Так як графік функції симетрична відносно прямий, то
8
і в результаті підстановки, отримуємо
вважаючи в (1.1), звідки, отримаємо
(1.4)
розділяючи інтеграл на два в межах від 0 до 1 і від 1 до і застосування до другого інтегралу підстановки, одержимо
=
2. Гамма-функція 9
Гамма функцію визначає інтеграл Ейлера другого роду
G (a) = (2.1)
сходиться при 0.Положім = ty, t> 0, маємо
G (a) =
і після заміни, через і t через 1 + t , Отримаємо
Множачи це рівність і інтегруючи по t і межах від 0 до, маємо:
або на підставі (1.4) і після зміни в правій частині порядку інтегрування, отримуємо:
10
звідки
(2.2)
замінюючи в (2,1), на і інтегруємо по частинам
отримуємо рекурентне формулу
(2.3)
так як
але при цілому маємо
(2.4)
тобто при цілих значеннях аргументу гамма-функція перетворюється в факторіал.Порядок якого на одиницю менше взятого значення аргумента.Прі n = 1 в (2.4) маємо
3. Похідна гамма функції 11
Інтеграл
сходиться при кожному, оскільки , І інтеграл при сходиться.
В області, де - довільне позитивне число, цей інтеграл сходиться рівномірно, так як і можна застосувати ознака Веерштраса. Збіжним при всіх значеннях є і весь інтеграл так як і друге слоган правій частині є інтегралом, завідомо збіжним при любом.Легко бачити що інтеграл сходиться пов будь-якій області де проізвольно.Действітельно для всіх указаних значень і для всіх, і так як сходиться, то виконані умови ознаки Веерштрасса. Таким чином, в області інтеграл cходітся рівномірно.
Звідси випливає неперервність гамма функції прі.Докажем дифференцируемость цієї функції при. Відмітимо що функція неперервна при і, і покажемо, що інтеграл:
12
сходиться рівномірно на кожному сегменті,. Виберемо число так, щоб; тоді при. Тому існує число таке, що й на.Но тоді на справедливо нерівність
і так як інтеграл сходиться, то інтеграл сходиться рівномірно відносно на. Аналогічно для існує таке число, що для всіх виконується нерівність. При таких і всіх отримаємо, звідки в силу ознаки порівняння випливає, що інтеграл сходиться рівномірно відносно на. Нарешті, інтеграл
в якому підінтегральна функція неперервна в області
, очевидно, сходиться рівномірно щодо на. Таким чином, на інтеграл
13
сходиться рівномірно, а, отже, гаммма функція нескінченно диференційовних при будь-якому і справедливо рівність
.
Щодо інтеграла можна повторити теже міркування і укласти, що
За індукції доводиться, що Г-функція нескінченно диференційована пріі для її я-ой похідної справедливо рівність
Вивчимо тепер поведінка - функції та побудуємо єскіз її графіка.
З виразу для другої похідної-функції видно, що для всіх. Отже, зростає. Оскільки, то по теоремі Роля на сегменті [1,2] похідна при і при, тобто Монотонно убуває на і монотонно зростає на. Далі, оскільки, то при. При з формули випливає, що при.
14
Рівність, справедливе при, можна використовувати при поширенні - функції на негативне значення.
Покладемо для, що. Права частина цього рівності визначена для з (-1,0) . Отримуємо, що так продовжена функція приймає на (-1,0) негативні значення і при, а також при функція.
Визначивши таким чином на, ми можемо з тієї ж формулою продовжити її на інтервал (-2, -1). На цьому інтервалі продовженням виявиться функція, приймаюча позитивні значення і така, що при і. Продовжуючи цей процес, визначимо функцію, маючі розриви в цілочисельних точках (див. рис.1)
Відзначимо ще раз, що інтеграл
визначає Г-функцію тільки при позитивних значеннях, продовження на негативні значення здійснено нами формально за допомогою формули приведення.
15
(рис.1)
4. Обчислення деяких інтегралів. 16
Формула Стірлінга
Застосуємо гамма функцію до обчисленню інтеграла:
де m> -1, N>-1.Полагая, що, маємо
і на підставі (2.2) маємо
(3.1)
В інтегралі
Де k> -1, n> 0, достатньо покласти
17
Інтеграл
Де s> 0, розкласти в ряд
=
де дзетта функція Рімана
Розглянемо неповні гамма функції (Функції Прима)
пов'язані нерівністю
Розкладаючи, в ряд маємо
18
Переходячи до висновку формули Стірлінга, що дає зокрема наближене значення n! при великих значеннях n, розглянемо попередньо допоміжну функцію
(3.2)
безперервно на інтервалі (-1,) монотонно зростає від до при зміні від до і звертаються в 0 при u = 0.Так як
то при u> 0 і при u <0, далі маємо
І так похідна неперервна і позитивна у всьому інтервалі, задовольняє умові
19
З попереднього випливає, що існує зворотна функція, визначена на інтервалі неперервна і монотонно зростаюча в цьому інтервалі,
звертається до 0 при v = 0 і задовольняє умову
(3.3)
Формулу Стірлінга виведемо з рівності
вважаючи, маємо
Покладемо далі введена вище зворотна функція, що задовольняє умовам u =-1прі, і при. Помічаючи що (см.3.2)
20
маємо
,
вважаючи на кінець,, отримаємо
або
в межі при тобто при (см3.3)
звідки випливає формула Стірлінга
яку можна взяти у вигляді
21
(3.4)
де, при
для досить великих вважають
(3.5)
обчислення же проводиться за допомогою логарифмів
якщо ціле позитивне число, то і (3.5) перетворюється на наближену формулу обчислення факторіалів при великих значеннях n
наведемо без виведення більш точну формулу
де в дужках стоїть не сходиться ряд.
5. Приклади обчислення інтегралів 22
Для обчислення необхідні формули:
Г ()
Обчислити інтеграли
23
МІНІСТЕРСТВО освіти и науки України
Запорізький державний университет
ДО ЗАХИСТУ допущених
Зав. каф. Математичного аналізу
д. т. н. проф. ____ С.Ф. Шишканова
_________________________ 2002р.
ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА ДО КУРСОВОГО ПРОЕКТУ
ГАМА ФУНКЦІЇ
розроб
Ст .. гр .. 8221-2
Садігов Р.А.
Керівник
Ст. викладач
Кудря В.І.
Запоріжжя 2002.
Зміст
Завдання на курсову роботу ........................... ................................... 2
Реферат .............................................. ............... ................................... 4 <...
