Зміст :
1. Що таке вектор?
2. Додавання векторів.
3. Рівність векторів.
4. Скалярний добуток двох векторів та його властивості.
5. Властивості операцій над векторами.
6. Докази і рішення задач.
Одним з фундаментальних понять сучасної математики є вектор і його узагальнення - Тензор. Еволюція поняття вектора здійснювалася завдяки широкому використанню цього поняття в різних галузях математики, механіки, а так само в техніці.
Кінець минулого і початок нинішнього століття ознаменувалися широким розвитком векторного обчислення і його додатків. Були створені векторна алгебра і векторний аналіз, загальна теорія векторного простору. Ці теорії були використані при побудові спеціальної і загальної теорії відносності, які грають виключно важливу роль у сучасній фізиці.
В відповідно до вимог нової програми з математики поняття вектора стало одним з провідних понять шкільного курсу математики.
Що ж таке вектор? Як не дивно, відповідь на це питання представляє відомі труднощі. Існують різні підходи до визначення поняття вектора; при цьому навіть якщо обмежитися лише найбільш цікавим тут для нас елементарно-геометричним підходом до поняття вектора, то й тоді будуть матися різні погляди на це поняття. Зрозуміло, яке б визначення ми взяли, вектор - з елементарно-геометричної точки зору - є геометричний об'єкт, що характеризується напрямком (тобто заданої з точністю до паралельності прямої і напрямком на ній) і довжиною. Однак таке визначення є надто загальним, не зухвалим конкретних геометричних уявлень. Згідно цьому загальному визначенню паралельний перенос можна вважати вектором. І дійсно, можна було б прийняти таке визначення: "Вектором називається всякий паралельний перенос". Це визначення логічно бездоганно, і на його основі може бути побудована вся теорія дій над векторами і розвинені докладання цієї теорії. Однак це визначення, незважаючи на його повну конкретність, нас тут також не може задовольнити, так як уявлення про вектор як про геометричному перетворенні здається нам недостатньо наочним і далеким від фізичних уявлень про векторних величинах.
Отже, вектором називається сімейство всіх паралельних між собою однаково спрямованих і мають однакову довжину відрізків (мал.1).
Вектор зображають на кресленнях відрізком зі стрілкою (тобто зображують не все сімейство відрізків, що представляє собою вектор, а лише один з цих відрізків). Для позначення векторів у книгах і статтях застосовують жирні латинські літери а, в, с та так далі, а в зошитах і на дошці - латинські літери з рискою зверху ,
Тією ж буквою, але не жирної, а світлої (а в зошиті і на дошці-тієї ж буквою без рисочки) позначають довжину вектора. Довжину іноді позначають також вертикальними рисками - як модуль (абсолютну величину) числа. Таким чином, довжина вектора а позначається через а або I а I, а в рукописному тексті довжина вектора а позначається через а або I а I. У зв'язку з зображенням векторів у вигляді відрізків (мал.2) слід пам'ятати, що кінці відрізка, що зображує вектор, нерівноправні: одного кінця відрізка до іншого.
Розрізняють початок і кінець вектора (точніше, відрізка, що зображує вектор).
Вельми часто поняттю вектора дається інше визначення: вектором називається спрямований відрізок. При цьому вектори (тобто спрямовані відтинки), мають однакову довжину і одне і те ж напрямок (рис.3), умовляються вважати рівними.
Вектори називаються однаково спрямованими, якщо їх напівпрямі однаково спрямовані.
Додавання векторів.
Всі сказане поки ще не дає поняття вектора досить змістовним і корисним. Велику змістовність і багату можливість додатків поняття вектора отримує тоді, коли ми вводимо своєрідну "геометричну арифметику "- арифметику векторів, що дозволяє складати вектори, вичитати їх і виробляти над ними цілий ряд інших операцій. Відзначимо в зв'язку з цим, що адже і поняття числа стає цікавим лише при введенні арифметичних дій, а не саме по собі.
Сумою векторів а і в з координатами а 1 , а 2 і в 1 , в 2 називається вектор з з координатами а 1 + в 1 , а 2 + в 2 , тобто
а (а 1 ; а 2 ) + В (в 1 ; в 2 ) = з (а 1 + в 1 ; а 2 + в 2 ).
Слідство:
Для доказу комутативності додавання векторів на площині необхідно розглянути приклад.
а і в - вектори (рис.5).
Нехай
1. Будуємо паралелограм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.
Для доказу асоціативності ми відкладемо від довільної точки О вектор ОА = а, від точки А вектор АВ = В і від точки в - вектор НД = с. Тоді ми маємо: АВ + ВС = АС.
звідки і треба рівність а + ( в + с ) = ( а + в ) + с. Зауважимо, що наведене доказ зовсім не використовує креслення. Це характерно (при деякому навику) для вирішення завдань за допомогою векторів.
Зупинимося тепер на разі, коли вектори а і в направлені в протилежні сторони і мають рівні довжини; такі вектори називають протилежними. Наше правило додавання векторів призводить до того, що сума двох протилежних векторів являє собою "вектор", який має нульову довжину і не має ніякого напряму; цей "вектор" змальовується "відрізком нульової довжини ", тобто точкою. Але це теж вектор, який називається нульовим і позначається символом 0.
Рівність векторів.
Два вектори називаються рівними, якщо вони суміщаються паралельним перенесенням. Це означає, що існує паралельне перенесення, який переводить початок і кінець одного вектора відповідно в початок і кінець іншого вектора.
З даного визначення рівності векторів випливає, що різні вектори однаково спрямовані і рівні за абсолютною величиною.
І назад: якщо вектори однаково спрямовані і рівні за абсолютною величиною, то вони рівні.
Дійсно, нехай вектори АВ і З D - однаково спрямовані вектори, рівні по абсолютній величині (Рис.6). Паралельний перенос, що переводить точку С в точку А, поєднує полупрямой СD з полупрямой АВ, так як вони однаково спрямовані. А так як відрізки АВ і CD рівні, то при цьому точка D поєднується з точкою В, тобто паралельний перенесення переводить вектор CD в вектор АВ. Значить, вектори АВ і З D рівні, що й потрібно було довести.
Скалярний твір двох векторів та його властивості.
Скалярним твором двох нульових векторів називається число, рівне добутку числових значень довжин цих векторів на косинус кута між векторами.
Позначення: а х в = I a I * I b I *...
