Визначення 1: Крива Г називається гладкою, якщо вона має безперервно мінливу дотичну.
Визначення 2: Крива називається кусково-гладкою, якщо вона складається з кінцевого числа гладких дуг.
Основні властивості: Нехай на комплексній площині Z задана кусочно-гладка крива С довжиною l, використовуючи параметричне завдання кривої З задамо h (t) і x (t), де h і x є кусково-гладкими кривими від дійсної змінної t. Нехай a t i.
Dz i = z i - z i-1. Складемо інтегруються функцію S = ГҐf (z *) Dz i. (1)
де z * - похідна точки цієї дуги.
Якщо при прагненні max | Dz i | В® 0 існує межа приватних сум не залежний ні від способу розбиття кривої С на часткові дуги, ні від вибору точок zi, то ця межа називається інтегралом від функції f (z) по кривій С.
(2)
f (zi *) = u (Pi *) + iv (Pi *) (3)
де Dz i = Dx (t) + iDh (t) (x (t) і h (t) - дійсні числа)
Підставивши (3) в (1) отримаємо:
(4)
Очевидно, що (4) складається з суми двох приватних сум, криволінійних інтегралів дійсної змінної. Переходячи в (4) до межі при Dx і Dh В® 0 і припускаючи, що дані межі існують, отримуємо:
(5)
Зауважимо, що для існування криволінійного інтегралів, що входять в (5), а тим самим і для існування інтеграла (2) достатньо кусочной безперервності функцій u і v. Це означає, що (2) існує і в разі неаналітічності функції f (z).
Сформулюємо деякі властивості інтеграла від функції комплексної змінної. З рівності (5) слідують властивості:
Про обмеженості інтеграла.
При цьому z = j (z).
7.) Нехай Cp - коло радіуса r, з центром в точці Z0. Обхід навколо контуру Cp здійснюється проти годинникової стрілки. Cp: ​​z = Z0 + r Г— eij, 0 ВЈ j ВЈ 2p, dz = ir Г— eij dj.
кусково-гладку замкнуту криву будемо називати замкнутим контуром, а інтеграл по замкненому контуру - контурним інтегралом.
ТЕОРЕМА КОШІ.
В якості позитивного обходу контуру виберемо напрямок при якому внутрішня область, обмежена даними замкнутим контуром залишається ліворуч від напрямку руху:
Для дійсної змінної мають місце формули Гріна. Відомо, що якщо функції P (x, y) і Q (x, y) є безперервними в деякій заданій області G, обмежені кусково-гладкої кривої С, а їх приватні похідні 1-го порядку неперервні в G, то має місце формула Гріна:
(8)
ТЕОРЕМА: Нехай в односвязного області G задана аналітична функція f (Z), тоді інтеграл від цієї функції по замкнутому контуру Г цілком лежить в G, дорівнює нулю.
Доказ: з формули (5) випливає:
Т.к. f (z) аналітична всюди, то U (x, y), V (x, y) - неперервні в області, обмеженої цим контуром і при цьому виконуються умови Коші-Рімана. Використовуючи властивість криволінійних інтегралів:
Аналогічно:
За умовою Коші-Рімана в останніх рівностях дужки дорівнюють нулю, а значить і обидва криволінійних інтеграла дорівнюють нулю. Звідси:
ТЕОРЕМА 2 (Друге формулювання теореми Коші): Якщо функція f (z) є аналітичною в односвязного області G, обмеженій кусково-гладким контуром C, і неперервна в замкненій області G, то інтеграл від такої функції по межі С області G дорівнює нулю.
TEOPEMA 3 (Розширення теореми Коші на багатозв'язкову область):
Нехай f (z) є аналітичною функцією в многосвязной області G, обмеженою ззовні контуром С0, а зсередини контурами С1, С2, .. , Сn (див. рис.). Нехай f (z) неперервна в замкненій області G, тоді:
, де С - повна межа області G, що складається з контурів С1, С2, .. , Сn. Причому обхід кривої С здійснюється в позитивному напрямку.
Невизначений інтеграл.
Наслідком формули Коші є таке положення: нехай f (Z) аналітична в односвязного області G, зафіксуємо в цій області точку Z0 і позначимо:
інтеграл по якій-небудь кривої, цілком лежить в області G, що містить Z0 і Z, в силу теорії Коші цей інтеграл не залежить від вибору кривої інтегрування і є однозначною функцією Ф (Z). Аналітична функція Ф (Z) називається первісною від функції f (Z) в області G, якщо в цій області має місце рівність: Ф Вў (Z) = f (Z).
Визначення: Сукупність усіх первісних називається невизначеним інтегралом від комплексної функції f (Z). Так само як і у випадку з функцією дійсного змінного має місце рівність:
(9)
Це аналог формули Ньютона-Лейбніца.
Інтеграл Коші. Висновок формули Коші.
Раніше була сформульована теорема Коші, яка дозволяє встановити зв'язок між значеннями аналітичної функції у внутрішніх точках області її аналітичності та граничними значеннями цієї функції.
Нехай функція f (Z) - аналітична функція в односвязного області G, обмеженою контуром С. Візьмемо всередині цієї області довільну точку Z0 і в області G навколо цієї точки побудуємо замкнутий контур Г. Розглянемо допоміжну функцію j (Z). Ця функція аналітична в області G усюди, окрім точки Z = Z0. Проведемо контур g з достатнім радіусом, що обмежує точку Z0, тоді функція буде аналітична в деякій двозв'язним області, укладеної між контурами Г і g. Згідно з теоремою Коші маємо:
За властивостями інтегралів:
(2)
Так як лівий інтеграл у (2) не залежить від вибору контуру інтегрування, то і правий інтеграл також не буде залежати від вибору контура. Виберемо в якості g окружність gr з радіусом r. Тоді:
(3)
Рівняння кола gr: z = Z0 + reij (4)
Підставивши (4) в (3) отримаємо:
(5)
(6)
(7)
спрямувалися gr В® 0, тобто r В® 0.
Тоді тому функція f (z) аналітична в точці Z = Z0 і всюди в області G, а отже і неперервна в G, то для всіх e> 0 існує r> 0, що для всіх z з r-околі точки Z0 виконується | f (z) - f (Z0) |
(8)
Підставивши (7) в (6) з урахуванням (8) отримуємо:
Підставляючи в (5) і виражаючи f (Z0) маємо:
(9)
Це інтеграл Коші.
Інтеграл, що стоїть в (9) в правій частині виражає значення аналітичної функції f (z) в деякій точці Z0 через її значення на довільному контурі g, лежачому в області аналітичності функції f (z) і містить точку Z0 всередині.
Очевидно, що якби функція f (z) була аналітична і в точках контуру С, то в якості кордону g у формулі (9) можна було використовувати контур С.
Наведені міркування залишаються справедливими і в разі многосвязной області G.
Слідство: Інтеграл Коші, цілком належить аналітичної області G має сенс для будь-якого положення Z0 на комплексній площині за умови, що ця точка є внутрішньою точкою області Г. При цьому якщо Z0 належить області з кордоном Г, то значення інтеграла одно (9), а якщо т. Z0 належить зовнішній області, то інтеграл дорівнює нулю:
При Z0 ГЋ Г зазначений інтеграл не існує.
Інтеграли, залежні від параметра.
Розглядаючи інтеграл Коші, бачимо, що підінтегральна функція залежить від 2-х комплексних змінних : Змінної інтегрування z і Z0. Таким чином інтеграл Коші мо...
