Реферат виконала: Гільова Марія, клас 10 "У", школа 41
2000/2001 навчальний рік
Правильні й напівправильні багатогранники (Платонова і архимедови тіла)
Правильним багатогранником називається опуклий багатогранник, грані якого - рівні правильні багатокутники, а двогранні кути при всіх вершинах рівні між собою. Доведено, що в кожній з вершин правильного багатогранника сходиться одне і те ж число граней і одне і те ж число ребер.
Усього в природі існує п'ять правильних багатогранників. У порівнянні з кількістю правильних багатокутників це - дуже мало: для кожного цілого n> 2 існує один правильний n-кутник, тобто правильних многокутників - нескінченно багато. Правильні багатогранники мають назви по числу граней: тетраедр (4 грані): гексаедр (6 граней), октаедр (8 граней), додекаедр (12 граней) і ікосаедр (20 граней). По-грецьки "хедрон" означає грань, "Тетра", "гекса" і т. д. - зазначені числа граней. Неважко здогадатися, що гексаедр є не що інше, як всім знайомий куб. Грані тетраедра, октаедра і ікосаедра - правильні трикутники, куба - квадрати, Додекаедр - правильні п'ятикутник.
Якщо позначити кількість кутів в однієї грані правильного багатогранника за q, а кількість граней, що сходяться в одній вершині - за p, можна отримати точні характеристики кожного правильного багатогранника. Ось вони (перше число - q, друге - p): (3, 3), (3, 4), (4, 3), (3, 5), (5, 3). При цьому у куба і октаедра, а також у ікосаедра і Додекаедр, числа p і q виявляються як би переставленими. Ці багатогранники називають подвійними. Тетраедр вважається двоїстим сам собі. У двоїстих багатогранників кількість ребер однакове.
Правильні многогранники симетричні. Це означає, що для будь-якого довільно обраного ребра AB і примикає до нього грані F можна так повернути багатогранник, що ребро AB перейде в будь відмінне від нього ребро CD, точка A - В будь-якій його кінець (C або D), а грань F збіжиться з однієї з двох що примикають до нього граней. Таких можливих поворотів - самосовмещеній всього існує 4P, де P - число ребер багатогранника. При цьому половина з них - повороти навколо уявних осей, що з'єднують центр багатогранника з його вершинами, серединами ребер і граней на кути, кратні відповідно 2p/q, p і 2p/p, а інша половина - симетрії щодо площин і "дзеркальні повороти". Зазначене "Властивість максимальної симетричності" іноді приймають за визначення правильного багатогранника. Але людині, далекій від математики, важко уявити собі геометричне тіло з таким визначенням.
Йоганн Кеплер називав куб "батьком" всіх правильних багатогранників. На основі куба він зміг побудувати всі інші види правильних багатогранників.
Якщо провести в протилежних гранях куба мимобіжні діагоналі, то їх кінці виявляться вершинами тетраедра, а вершини октаедра - це центри граней куба. Отримані багатокутники дійсно правильні, так як їх грані - правильні трикутники. Рівність же двогранні кутів випливає з того, що при повороті куба ребро багатогранника можна перевести в будь-яке інше.
Для того, щоб побудувати ікосаедр, на кожній грані куба потрібно побудувати відрізок довжиною x (поки що це - будь-яка довжина) так, щоб він був паралельний двом сторонам своєї грані і перпендикулярний таким же відрізкам на сусідніх гранях. Середина його повинна збігатися з центром грані. З'єднаємо кінці цих відрізків між собою, і ми отримаємо двадцатигранник, грані якого - трикутники, і при кожній вершині їх п'ять. Знайдемо таке число x, при якому всі ребра цього багатогранника рівні, тобто він правильний. Т.к. куб симетричний, то всі ребра, не належать граням куба рівні між собою. Приймемо довжину ребра куба за a. Розглянемо трикутник ABC (рис. 2), де AC = a-x, BC2 = CD2 + BD2 = 1/4a2 +1/4x2. За теоремі Піфагора отримуємо: AB2 = AC2 + CB2 = (x2 + a2 + (a-x) 2)/4.
Прирівнюючи AB до x, отримуємо квадратне рівняння: x2 + ax-a2 = 0, звідки x = a (Г–5-1)/2. Цікаво, що отриманий множник при a, тобто відношення ребра куба до ребра вписаного в нього ікосаедра - Не що інше, як золотий перетин.
Тепер доведемо рівність двогранні кутів. Розглянемо 5 ребер, що виходять з точки A. Кінці їх всіх рівновіддалені і від точки A, і від центру куба O. Звідси випливає, що вони лежать на перетині двох сфер з центрами A і O, а значить - на окружності, причому ребра, що з'єднують їх з точкою A, дорівнюють. Значить, ці п'ять точок і точка a - вершини правильної піраміди, а її двогранні кути при вершині дорівнюють.
Додекаедр із ікосаедра можна отримати так само, як і октаедр з куба. з'єднуючи середини суміжних граней ікосаедра, ми отримуємо правільнгий п'ятикутні. Всього таких п'ятикутників буде 12. Двогранні кути багатокутника будуть рівні, так як тригранні кути при його вершинах мають рівні плоскі кути.
Правильні багатогранники також називають Платоновим тілами, хоча вони були відомі ще за кілька століть до Платона. В одному зі своїх діалогів Платон зв'язав правильні багатокутники з чотирма стихіями. Тетраедрів відповідав вогонь, кубу - земля, октаедр - повітря, ікосаедр - вода. Додекаедр відповідала п'ята стихія - ефір.
Так звані напівправильні багатогранники зв'язують із ім'ям Архімеда. Це 13 тіл, отриманих при усіканні правильних багатогранників і два нескінченних ряду правильних призм і антіпрізм з рівними ребрами.
В епоху Відродження вчений Йоганн Кеплер слідом за Платоном спробував зв'язати правильні багатогранники з будовою Всесвіту. З більшою чи меншою точністю він розмістив між сферами, що містять орбіти шести відомих планет, правильні багатогранники таким чином, що кожен був описаний близько меншою сфери і вписаний у велику. Але ім'я Кеплера в геометрії прославило відкриття двох із чотирьох правильних зоряних тіл. Два інших в 1809 р. знайшов француз Луї Пуансо.
Рис. 1 Правильні багатогранники
Тетраедр Куб Октаедр додекаедр ікосаедра
Рис.2 Отримання правильних багатогранників з куба
Рис. 3 Архімедова тіло, утворене з ікосаедра
Рис. 4 Одне із зоряних тіл
Список літератури
Для підготовки даної роботи були використані матеріали з сайту .ed.vseved.ru/
